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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Phoebe |
Hallo, ich habe hier eine Aufgabe und auch die Lösung, bin mir nur nciht sicher, ob sie wirklich richtig ist. Wäre schön, wenn da mal jemand durchschauen könnte, ob's stimmt...
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgende Ungleichung
[mm] \produkt_{i=1}^{n} (1+a_{i}) \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
für beliebige reelle Zahlen [mm] a_{1},...,a_{n} \ge [/mm] -1 und [mm] a_{i}a_{j} \ge [/mm] 0 für i,j = 1,...,n.
So, und hier die Lösung:
IA: n=1
[mm] \produkt_{i=1}^{1} (1+a_{i}) \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{i=1}^{1} a_{i}
[/mm]
2 [mm] \ge [/mm] 2
-> richtig
IS: [mm] \produkt_{i=1}^{n+1} (1+a_{i}) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} (1+a_{i})(1+a_{n+1}) [/mm]
[mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} (1+a_{n+1}) [/mm]
= 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} (a_{i}+a_{i}*a_{n+1}) [/mm]
[mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} (a_{i}+a_{n+1})
[/mm]
[mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}+a_{n+1}
[/mm]
= 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n+1} a_{i} \Box
[/mm]
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Hallo Phoebe,
> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgende
> Ungleichung
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} (1+a_{i}) \ge[/mm] 1 + [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i}[/mm]
>
> für beliebige reelle Zahlen [mm]a_{1},...,a_{n} \ge[/mm] -1 und
> [mm]a_{i}a_{j} \ge[/mm] 0 für i,j = 1,...,n.
>
> So, und hier die Lösung:
>
> IA: n=1
> [mm]\produkt_{i=1}^{1} (1+a_{i}) \ge[/mm] 1 + [mm]\summe_{i=1}^{1} a_{i}[/mm]
>
> 2 [mm]\ge[/mm] 2
> -> richtig
>
> IS: [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} (1+a_{i})[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n} (1+a_{i})(1+a_{n+1})[/mm]
> [mm]\ge[/mm] 1 + [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i} (1+a_{n+1})[/mm]
Da muss stehen:
[mm]\ge[/mm] (1 + [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i})\;(1+a_{n+1})[/mm]
Gruß
MathePower
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