vollständige Induktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mo 13.02.2006 | | Autor: | soulid |
hi, habe hier ne vollständige Induktion, die definitiv mein können überschreitet.
[mm] (A+B)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\ k} A^{n-k} B^{k}
[/mm]
also für n=1 habe ich es ja noch hinbekommen:
[mm] (A+B)^{1} [/mm] = (A+B)
[mm] \summe_{k=0}^{1} \vektor{1\\ k} A^{1-k} B^{k} [/mm] = [mm] \vektor{1\\ 0} A^{1-0} B^{0} +\vektor{1\\ 1} A^{1-1} B^{1} [/mm] =(A+B)
so dann kommt ja der Schritt: n -> n+1; also ist dann meine Behauptung:
[mm] (A+B)^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} A^{n+1-k} B^{k}
[/mm]
so und nun verlassen sie mich auch schon, für die einfachen simplen induktionen ist es ja nicht schwer, aber sowas habe ich noch nie gemacht.
vielleicht mag mir jemand helfen.
mfg soulid
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mo 13.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Soulid
Warum multiplizierst du nicht erstmal die Induktionsvors. also Summe bis n mit A+B und siehst dann, wie weit du kommst.
Wenn mans nicht sieht, wie es läuft, mach mal den Schritt von [mm] (A+B)^{2}
[/mm]
nach [mm] (A+B)^{3} [/mm] explizit, und beobachte, was passiert!
Aber ganz ohne Vorleistung können wir dir ja nicht das einfach vorrechnen. Da das die binomische Formel ist, stehts natürlich auch in Büchern.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mo 13.02.2006 | | Autor: | riwe |
[mm] {(a+b)}^{k+1}={(a+b)}^{k}(a+b)
[/mm]
nun aus multiplizieren und immer die entsprechenden potenzen zusammenfassen
[mm] {(a+b)}^{k+1}=a^{k+1}+(1+ \vektor{k \\ 1})a^{k}b+( \vektor{k \\ 1} +\vektor{k \\ 2})a^{k-1}b^{2}+....+( \vektor{k \\ s} +\vektor{k \\ s+1})a^{k-s}b^{s+1}+...+b^{k+1}
[/mm]
und es gilt [mm] \vektor{k\\ s}+ \vektor{k \\ s+1} \vektor{k+1 \\ s+1}
[/mm]
einsetzen und zusammenfassen liefert das gewünschte.
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