vollständige Induktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Lay-C |
| Aufgabe | | Beweise durch vollständige Induktion, dass [mm] 3^{n} [/mm] + 2n - 1 für alle n [mm] \in \IN [/mm] durch 4 teilbar ist |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also so weit bin ich gekommen aber weiter komme ich nicht mehr obwohl ich eigentlich (für die Verhältnisse in unserem Kurs) gut in Mathe bin...
Start für n=1:
[mm] 3^{1} [/mm] +2*1-1= 4r
3+2-1=4
Annahme:
[mm] 3^{n} [/mm] + 2n -1 ist wahr für alle n /in /IN
Schluss:
[mm] 3^{n+1} [/mm] +2(n+1)-1=4r
[mm] 3^{n} [/mm] * 3 +2n +1 =4r
und jetzt weiß ich nicht mehr wie ich weiter machen soll... ich rätsel schon darum seit ich um halb 2 aus der Schule komme (ok mit Pausen ^^)...
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> Beweise durch vollständige Induktion, dass [mm]3^{n}[/mm] + 2n - 1
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] durch 4 teilbar ist
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast richtig begonnen: zunächst beweist man die Aussage für einen "Startwert", meist für n=0 oder n=1. (Für den Wert, ab welchem die allgemeine Aussage bewiesen werden soll.)
> Start für n=1:
Es ist
> [mm]3^{1}[/mm] +2*1-1=
> 3+2-1=4 =4*1,
also gilt die Aussage für n=1.
Nun nimmt man an, daß die Aussage für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt:
>
> Annahme:
> [mm]3^{n}[/mm] + 2n -1
ist teilbar durch 4,
d,h, es gibt ein t [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] 3^{n}[/mm] [/mm] + 2n -1 = 4t
> ist wahr für alle n /in /IN
Unter der Voraussetzung, daß diese Annahme richtig ist, zeigt man nun ihre Gültigkeit für n+1.
>
> Schluss:
Zu zeigen: wenn obige Annahme gilt, gibt es ein r [mm] \in \IN [/mm] mit
> [mm] 3^{n+1}+2(n+1)-1=4r
[/mm]
>
> und jetzt weiß ich nicht mehr wie ich weiter machen soll...
Du startest mit [mm] 3^{n+1}+2(n+1)-1= [/mm] . Das mußt Du nun so geschickt umformen, daß Du irgendwann die Voraussetzung [mm] 3^{n}+ [/mm] 2n -1 = 4t einsetzen kannst und dann weiter umformen, bis Du ein Produkt aus 4 und einer anderen nat. Zahl hast.
Ich mach' Dir den Anfang:
[mm] 3^{n+1}+2(n+1)-1
[/mm]
[mm] =3*3^n+2n+2-1
[/mm]
=3*(4t-2n+1)+2n +2-1 (Hier habe ich für [mm] 3^n [/mm] die umgeformte Voraussetzung eingesetzt)
=... Nun mußt Du weiterrechnen mit dem Ziel, irgendwann die 4 ausklammern zu können. Dann bist Du fertig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Lay-C |
ok Danke... jetzt hab ichs bin bloß nicht drauf gekommen das [mm] 3^{n} [/mm] zu ersetzen ^^ muss ich mir merken dass es so geht unser Lehrer is halt nich so toll... ok also nochmal danke ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Fr 23.03.2007 | | Autor: | oli_k |
Hab die Aufgabe auch mal testweise gerechnet, hab sowas lange nicht mehr gemacht. Ist mit 4*(3t-n+1) die Aussage schon bewiesen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Fr 23.03.2007 | | Autor: | oli_k |
Mitteilung hierdrüber sollte natürlich ne Frage sein.
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Ja, damit ist die Aussage bewiesen: Du hast ein Produkt aus 4 und einer anderen ganzen Zahl.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Fr 23.03.2007 | | Autor: | riwe |
> Beweise durch vollständige Induktion, dass [mm]3^{n}[/mm] + 2n - 1
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] durch 4 teilbar ist
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> also so weit bin ich gekommen aber weiter komme ich nicht
> mehr obwohl ich eigentlich (für die Verhältnisse in unserem
> Kurs) gut in Mathe bin...
>
> Start für n=1:
> [mm]3^{1}[/mm] +2*1-1= 4r
> 3+2-1=4
>
> Annahme:
> [mm]3^{n}[/mm] + 2n -1 ist wahr für alle n /in /IN
>
> Schluss:
> [mm]3^{n+1}[/mm] +2(n+1)-1=4r
> [mm]3^{n}[/mm] * 3 +2n +1 =4r
>
> und jetzt weiß ich nicht mehr wie ich weiter machen soll...
> ich rätsel schon darum seit ich um halb 2 aus der Schule
> komme (ok mit Pausen ^^)...
[mm]3^{n+1}+2(n+1)-1=(3^{n}+2n-1)\cdot 3-4(n-1)[/mm]
hilft dir das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Lay-C |
ganz ehrlich?
Ich hab keine Ahnung wie du drauf kommst:
> [mm]3^{n+1}+2(n+1)-1=(3^{n}+2n-1)\cdot 3-4(n-1)[/mm]
Aber ich habs ja jetzt dank Angela ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Fr 23.03.2007 | | Autor: | riwe |
> ganz ehrlich?
>
> Ich hab keine Ahnung wie du drauf kommst:
> > [mm]3^{n+1}+2(n+1)-1=(3^{n}+2n-1)\cdot 3-4(n-1)[/mm]
>
> Aber ich habs ja jetzt dank Angela ^^
nenn es intuition.
ist doch nahe liegend.
der 1. summand ist lt. induktionsvoraussetzung durch 4 teilbar der 2. sowieso als produkt von 4 und (n-1).
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 01.04.2007 | | Autor: | dau2 |
Hi,
mag mir jemand zeigen wie es hiernach weitergeht:
I.S.
[mm] 3^{n+1}+2(n+1)-1=4r
[/mm]
Schreibt man nun:
[mm] 3^{n+1}+2(n+1)-1=4r
[/mm]
oder:
[mm] 3^{n+1}+2(n+1)-1
[/mm]
"Mit welcher Zielsetzung geht es ab hier weiter?"
Angela hat ja weiter oben schon den Vorschlag gemacht [mm] 3^{n+1} [/mm] als [mm] 3*3^{n} [/mm] zu betrachten und dafür [mm] 3^{n}=4t-2n+1 [/mm] (umgeformte I.V.) einzusetzen....aber wozu?
Mit freundlichen Grüßen
dau2
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Hinweis: Wenn du
> [mm] 3^{1} [/mm] +2*1-1= 4r
setzt, solltest du nicht
> Schluss:
> [mm] 3^{n+1} [/mm] +2(n+1)-1=4r
> [mm] 3^{n} [/mm] * 3 +2n +1 =4r
schreiben. Zwar soll dein Ergebnis auch eine 4-er-Zahl sein, aber nicht mit dem selben r wie bei n statt bei n+1.
Am besten lässt du das aber weg und formst den Ausdruck
[mm] 3^{n} [/mm] * 3 +2n +1 so lange um, bis man sieht, dass man ein Vielfaches von 4 hat:
[mm] 3^{n} [/mm] * 3 +2n +1 = [mm] 4*3^{n} -3^{n} [/mm] +2n +1, weil du unbedingt einen Faktor 4 brauchst!
...= [mm] 4*3^{n} [/mm] - [mm] (3^{n} [/mm] +2n -1) + 4n
(in die Klammer schreibst du alles, wass du zu [mm] 3^{n} [/mm] brauchst, um auf eine 4-er-Zahl zu kommen; in diesem Fall also den Ausdruck aus der Induktionsvoraussetzung; dann korrigierst du den Term - hier duch +4n - so, dass die Gleichung wieder stimmt.
Nun siehst du, dass der erste und der letze Summand 4-er-Zahlen sind, die Klammer ist es laut IV, somit also auch der ganze Ausdruck.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mo 02.04.2007 | | Autor: | dau2 |
[mm] 3^{n} [/mm] * 3 +2n +1 = [mm] 4*3^{n} -3^{n} [/mm] +2n +1
das links/rechts identisch sind kann ich nachrechen..aber wie kommst du auf die rechte seite?
4* - ok, wir wollen etwas haben was durch 4 teilbar ist
[mm] -3^{n} [/mm] +2n +1 - warum?
Mfg
dau2
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Hallo dau!
Es gilt doch: [mm] $\red{3}*3^n [/mm] \ = \ [mm] \left(\red{4-1}\right)*3^n [/mm] \ = \ [mm] 4*3^n-1*3^n [/mm] \ = \ [mm] 4*3^n-3^n$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Do 05.04.2007 | | Autor: | dau2 |
Danke Roadrunner.
habs jetzt nochmal etwas anders probiert:
I.V.:
[mm] 3^{n}+2n-1=4t
[/mm]
[mm] 3^{n}=4t-2n+1
[/mm]
[mm] 3^{n+1}+2(n+1)-1
[/mm]
[mm] 3^{n+1}+2n+1
[/mm]
[mm] 3*3^{n}+2n+1 [/mm]
3*(4t-2n+1)+2n+1 |umgeformte I.V. eingesetzt
12t-6n+4
4*(3t-n+1)
ist das okay?
Mfg
dau2
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Hallo dau!
Meines Erachtens kannst Du das prinzipiell auch nach dieser Methode lösen. Allerdings solltest Du dann auch die deiversen -vorzeichen- und Rechenfehler beheben:
[mm] $3*\blue{3^n}+2n+1 [/mm] \ = \ [mm] 3*(\blue{4t} [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \blue{2n} [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \blue{1}) [/mm] + 2n+1 \ = \ [mm] \red{12}t-6n+3+2n+1 [/mm] \ = \ 12t-4n+4 \ = \ 4*(3t-n+1)$
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Do 05.04.2007 | | Autor: | dau2 |
ups, ja das sah böse aus.
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