vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:26 Do 12.07.2007 | | Autor: | fisch000 |
| Aufgabe | Man beweise per vollständiger Induktion:
1) für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
2) für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] ..........n^2 [/mm] > [mm] \bruch{n^3}{3}
[/mm]
3) sei x [mm] \in \IR [/mm] mit x >= -1. zeigen das für alle n [mm] \in \IN [/mm] die Bernoullische Ungleichung gilt: (1 + [mm] x)^{n} [/mm] >= 1 + nx
|
Hallo Leute,
ich hab ein allgemeines Verständnisproblem von der vollständigen Induktion. Im Prinzip ist mir schon klar, also das z.b. in Aufgabe 2 aus der gegebenen Gleichung [mm] (n+1)^2 [/mm] > [mm] \bruch{(n+1)^3}{3} [/mm] folgen muss. Mir ist auch klar das die gegebene Gleichung um einen bestimmten Term erweitert werden muss. Laut Lösung wäre es im Fall 1) +(n+1) im Fall 2) [mm] +(n+1)^2 [/mm] und im Fall 3) *(1+x). Genau das ist mein Problem, ich weiß nicht wie ich die gegebenen Gleichungen jeweils erweitern muss um die Induktionsbehauptung zu beweisen. Wenn mir jemand hier auf die Sprünge helfen könnte wäre ich sehr froh darüber. Das Problem habe ich nicht nur bei diesen 3 Aufgaben sondern im allgemeinen. Jeder Schritt bis zu Induktionsbehauptung ist mir klar. Nur diese zu beweisen macht mir Probleme.
MfG
|
|
| |
|
Hallo fisch000!
> Man beweise per vollständiger Induktion:
> 1) für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k =
> [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
> 2) für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]1^2[/mm] + [mm]2^2[/mm] + [mm]..........n^2[/mm] >
> [mm]\bruch{n^3}{3}[/mm]
> 3) sei x [mm]\in \IR[/mm] mit x >= -1. zeigen das für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> die Bernoullische Ungleichung gilt: (1 + [mm]x)^{n}[/mm] >= 1 + nx
Also das allgemeine Prinzip der Induktion scheinst du verstanden zu haben. Wie das dann bei jeder Aufgabe im Einzelnen aussieht - da gibt's keine Regel. Das ist jedes Mal anders. Aber normalerweise setzt man die Induktionsvoraussetzung ein. Ich probiere mal, dir das an dem ersten Beispiel zu erklären - auch wenn man das sicher in vielen Büchern findet.
Also die Induktionsvoraussetzung (IV) ist: [mm] \summe_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2} \forall n\in \IN
[/mm]
Zu zeigen ist nun, dass das auch für n+1 gilt, also: [mm] \summe_{k=1}^{n+1} k=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \forall n\in \IN
[/mm]
Was bei Summen immer sehr gut machen kann, ist einen Summanden abspalten (oder ggf. auch eine Summe in zwei Summen aufteilen...). Hier spalten wir mal einfach das letzte Element ab, weil wir ja die Summe bis n schon kennen - zu viel ist also nur das (n+1)te Element. Wir schreiben:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k=\summe_{k=1}^n [/mm] k +(n+1)
Und nun können wir direkt die Induktionsvoraussetzung einsetzen:
[mm] =\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)
[/mm]
Und das Ganze soll ja [mm] \frac{(n+1)(n+2)}{2} [/mm] sein. Jetzt musst du nur noch das eine in das andere überführen. Das ist manchmal einfacher, wenn man das von hinten macht - wenn wir also jetzt diesen letzten Term hier mal ausmultiplizieren:
[mm] =\frac{(n^2+3n+2)}{2}
[/mm]
Und wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe, sieht man durch scharfes hingucken, dass [mm] \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n^2+3n+2)}{2}. [/mm] Und damit sind wir fertig. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
Hallo,
in 2) willst Du im Induktionsschluß ja zeigen, daß
[mm] 1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2>\bruch{(n+1)^3}{3}.
[/mm]
Fang so an:
[mm] 1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2=(1^2+2^2+...+n^2)+(n+1)^2
[/mm]
nun kannst Du die große Klammer durch die Ibduktionsbehauptung, [mm] ...>n^3/3, [/mm] abschaätzen, also
[mm] ...>\bruch{n^3}{3}+(n+1)^2
[/mm]
Hier arbeitest Du nun weiter bis zum Ziel.
In 3) willst Du im Induktionsschluß ja zeigen, daß
[mm] (1+x)^{n+1}\ge [/mm] 1+(n+1)x ist.
Auch hier versuchst Du Deinen Startterm [mm] (1+x)^{n+1} [/mm] wieder so umzumodeln, daß Du die Indunktionsvoraussetzung [mm] (1+x)^n\ge1+nx [/mm] verwenden kannst.
So:
[mm] (1+x)^{n+1}=(1+x)^n(1+x)\ge [/mm] ... Hier kannst Du directement mit der Induktionsvoraussetzung abschätzen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Do 12.07.2007 | | Autor: | fisch000 |
Danke für eure Hilfe, jetzt wird mir so einiges klar. Eigentlich ist es ja nicht so schwer. Schönen Abend noch.
|
|
|
|
