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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Fr 26.10.2007 | | Autor: | mgm |
| Aufgabe | Beweise, daß für alle n Element der Natürlichen Zahlen gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{k+1}{n \choose k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm]
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Wie funktioniert der Induktionsschritt n -> n+1?
Den Induktionsanfang n= 1, sodass 1/2 Element der Natürlichen Zahlen konnte ich noch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Sa 27.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
da ja offenbar niemand sonst antwortet, mache ich mal einen Vorschlag:
Ich sehe einen sehr einfachen Beweis ohne Induktion, und zwar über den binomischen Lehrsatz:
Verwende [mm] $\frac{1}{k+1} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} = [mm] \frac{1}{n+1}{n+1 \choose k+1}$, [/mm] transformiere dann den Summenindex um eins nach oben (also von 1 bis n+1, statt von 0 bis n), dann kann der binomische Lehrsatz angewendet werden (wobei der hinzukommende Summenindex 0 hinterher wieder abgezogen werden muß) und das Ergebnis steht da.
Per Induktion dürfte das eine seitenlange Arbeit werden und wir wissen ja (hoffentlich):
In der Mathematik ist der einfachste und kürzeste Weg immer der beste!
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Sa 27.10.2007 | | Autor: | mgm |
Danke Will für deine Antwort,
da ich aber noch nicht so viel Erfahrung habe, weiß
ich nicht wie sich die Summe durch die von dir angegebene Indexverschiebung verändert.
Könntest du mir nicht noch etwas weiter helfen?
Wäre echt nett.
Gruß
MGM
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Hi ich kann dir die Indexverschiebung anhand eines beispieles zeigen!!
Beh: [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n}
[/mm]
Bew:
IA: n=0 : [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{0 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] = 1 = [mm] 2^{0}
[/mm]
IS: Sei [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] bewiesen (IV)
zz. [mm] \summe_{k=0}^{n+1}= 2^{n+1}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ 0} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
= [mm] \vektor{n+1 \\ 0} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] ( [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] )
Jetzt folgt die Indexverschiebung!!!!
1+ [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \vektor{n \\ k-1} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \vektor{n \\ k}
[/mm]
= 1 + [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \vektor{n \\ k}
[/mm]
IV= 1 + [mm] 2^{n} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \vektor{n \\ k}
[/mm]
= [mm] 2^{n} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ n+1}
[/mm]
= [mm] 2^{n} [/mm] + [mm] 2^{n} [/mm] = [mm] 2*2^{n} [/mm] = [mm] 2^{n+1}
[/mm]
Ich hoffe es ist die ein bisschen klarer geworden....
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 So 28.10.2007 | | Autor: | Creep |
Sorry, aber leider verstehe ich das nicht mit dem bin. Lehrsatz. Also
[mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^k*\bruch{1}{n+1}*\vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
Dann:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}*\bruch{1}{n+1}*\vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
und jetzt? Sehe leider hier nicht das Ergebnis!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 So 28.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Creep,
> Sorry, aber leider verstehe ich das nicht mit dem bin.
> Lehrsatz. Also
> [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^k*\bruch{1}{n+1}*\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm]
>
> Dann:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}*\bruch{1}{n+1}*\vektor{n+1 \\ k}[/mm]
$ = [mm] -\bruch{1}{n+1} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k [/mm] * [mm] \vektor{n+1 \\ k}$
[/mm]
$ = [mm] -\bruch{1}{n+1} [/mm] * [mm] \left(\summe_{k=0}^{n+1} (-1)^k * \vektor{n+1 \\ k} - 1\right)$
[/mm]
$ = [mm] -\bruch{1}{n+1} [/mm] * ((1 - [mm] 1)^{n+1} [/mm] - 1)$
$ = [mm] \bruch{1}{n+1}$
[/mm]
OK?
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 So 28.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi irgendwie kann ich das nicht nachvollziehen! zumal auch [mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] heraus kommen muss...
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 So 28.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Tyskie,
> Hi irgendwie kann ich das nicht nachvollziehen! zumal auch
> [mm]\bruch{1}{n+2}[/mm] heraus kommen muss...
nein, schau noch einmal in die Aufgabe, es kommt tatsächlich [mm] $\frac{1}{n+1}$ [/mm] heraus.
Wo genau verstehst du etwas nicht?
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 So 28.10.2007 | | Autor: | Creep |
Au man ich bin so blind =(
Alles logisch, nur ich Nase hab heut wieder soviel Mathe gemacht, dass ich sowas nicht sehe!
Danke Willi!
@Tyskie: Das ist kein Induktionsbeweis...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 So 28.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Mir gehts genau so ...den ganzen sonntag damit verbracht mathe zu machen....jetzt sehe ich es auch...ich habe so viele induktionsbeweise versucht um dies zu beweisen so das ich immer auf 1/(n+2) kommen wollte....Hast recht! :)
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 28.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Wie kommst du von der [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n \\ k} [/mm] auf [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^k\cdot{}\bruch{1}{n+1}\cdot{}\vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tyskie!
[mm] $$\bruch{1}{k+1}*\vektor{n\\k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k+1}*\bruch{n!}{k!*(n-k)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n!}{\red{(k+1)*k!}*(n-k)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n!}{\red{(k+1)!}*(n-k)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n!}{(k+1)!*(n-k)!}*\bruch{n+1}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{n!*(n+1)}}{(k+1)!*(n-k)!}*\bruch{1}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{(n+1)!}}{(k+1)!*(n-k)!}*\bruch{1}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n+1}*\vektor{n+1\\k+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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