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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Fr 26.10.2007 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Man beweise durch vollständige Induktion:
[mm] \summe_{k=1}^{n} (2k-1)=n^2 [/mm] für jedes [mm] n\varepsilon [/mm] N |
Hallo!
Ich weiß nicht wie ich an die Sachen rangehen soll. Hab erst mal angefangen aufzuschreiben, dass die Formel für n=1 und n=2 gilt. Damit nehm ich dann an, dass die Formel auch für n+1 gilt.
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (2k-1)=(n+1)^2
[/mm]
Nun erst mal die linke Seite ansehen, aber da kann ich irgendwie nicht viel ändern.
Auf der rechten Seite hab ich dann die Binomische Formel, also [mm] n^2+2n+1
[/mm]
Und weiter komme ich nicht. Kann jemand nachhelfen?
Danke!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Oneill,
> Ich weiß nicht wie ich an die Sachen rangehen soll. Hab
> erst mal angefangen aufzuschreiben, dass die Formel für n=1
> und n=2 gilt. Damit nehm ich dann an, dass die Formel auch
> für n+1 gilt.
Das haut so nicht ganz hin. Du darfst nur annehmen, dass die Formel für n gilt und musst dann zeigen dass sie auch für n+1 gilt !
Also am besten der Reihe nach, du hast den Induktionsanfang gezeigt, das ist schon mal gut. Für n=1 reicht:
Induktionsanfang
n=1: 2 [mm] \cdot [/mm] 1 -1 = [mm] 1^2 [/mm] wahre Aussage
Induktionsannahme
Behauptung ist wahr für ein beliebiges n [mm] \in [/mm] N.
Induktionsschritt n [mm] \Rightarrow [/mm] n+1
[mm] \sum_{k=1}^{n+1} [/mm] (2k-1) = [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] (2k-1) + (2(n+1) - 1) = ...
Du musst einfach so umformen, dass du die Induktionsannahme einsetzen kannst, d.h. die Summe bis n laufen lassen und den letzten Summand so dazu addieren. Also Annahme einsetzen und umformen, das dann etwas mit der binomischen Formel rauskommt hast du ja schon gesehen...
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Fr 26.10.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo Riley!
> Induktionsanfang
> n=1: 2 [mm]\cdot[/mm] 1 -1 = [mm]1^2[/mm] wahre Aussage
>
> Induktionsannahme
> Behauptung ist wahr für ein beliebiges n [mm]\in[/mm] N.
>
> Induktionsschritt n [mm]\Rightarrow[/mm] n+1
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1}[/mm] (2k-1) = [mm]\sum_{k=1}^n[/mm] (2k-1) + (2(n+1) -
> 1) = ...
Dann ersetze ich also die [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] (2k-1) und schreibe stattdessen das [mm] n^2 [/mm] hin =>
[mm] n^2+2(n+1)-1=n^2+2n+1
[/mm]
Und das entspricht dann der rechten Seite und damit ist der Beweis gegeben, richtig?
Vielen Dank für deine Mühe!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Oneill,
> Dann ersetze ich also die [mm]\sum_{k=1}^n[/mm] (2k-1) und
> schreibe stattdessen das [mm]n^2[/mm] hin =>
> [mm]n^2+2(n+1)-1=n^2+2n+1[/mm]
> Und das entspricht dann der rechten Seite und damit ist
> der Beweis gegeben, richtig?
> Vielen Dank für deine Mühe!
> Gruß ONeill
>
yea, you got it *thumbsup* das ist ja dann [mm] (n+1)^2, [/mm] also die rechte Seite der Formel für n+1 und das wollten wir ja zeigen.
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Fr 26.10.2007 | | Autor: | ONeill |
Wunderbar, vielen Dank!
Schönen Abend noch
Lg ONeill
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