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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Mijoko |
| Aufgabe | Für [mm] n\in\IN_0 [/mm] sei [mm] F_:=2^{2^n}+1 [/mm] . (fermat-Zahl)
a) Beweisen sie duch vollständige Induktion, dass für [mm] n\in\IN_0 [/mm] gilt: [mm] F_0*F_1*F_2...=F_{n+1}-2 [/mm] .
b) folgern sie, dass je zwei verschiedene Fermat-Zahlen teilerfremd sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
und ich hab nun ein Problem damit, dass [mm] F_0*F_1*F_2 [/mm] ... da steht. Bei Summen nimmt man ja das Summenzeichen, aber bei Produkten? Ich habe auch erst in der letzten Vorlesung die vollständige Induktion gehabt und es leider noch nicht ganz verstanden, wie die funktioniert. Bitte helft mir!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Fr 26.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mijoko!
> Für n [mm]\IN0[/mm] sei Fn:=2²^n+1. (fermat-Zahl)
> a) Beweisen sie duch vollständige Induktion, dass für
> [mm]n\IN0[/mm] gilt: F0F1F2...=F(n+1)-2.
> b) folgern sie, dass je zwei verschiedene Fermat-Zahlen
> teilerfremd sind.
> und ich hab nun ein Problem damit, dass F0F1F2.. da steht.
> Bei Summen nimmt man ja das Summenzeichen, aber bei
> Produkten?
Bei Produkten nimmt man als Produktzeichen das große [mm]\Pi[/mm]:
[mm]\prod_{i=0}^n F_i = F_{n+1} - 2[/mm].
> Ich habe auch erst in der letzten Vorlesung die
> vollständige Induktion gehabt und es leider noch nicht ganz
> verstanden, wie die funktioniert. Bitte helft mir!
Die vollständige Induktion funktioniert immer in drei Schritten:
1. Induktionsanfang: man zeigt, dass die Aussage für das erste Glied gilt.
In deinem Fall ist das n=0, du musst also nachweisen, dass [mm]F_0 = F_1 - 2[/mm].
2. Induktionsannahme: man nimmt an, dass die Aussage für ein Glied gilt.
Hier würde das für n annehmen, also sagen: Angenommen, es wäre
[mm]\prod_{i=0}^n F_i = F_{n+1} - 2[/mm].
3. Induktionsschluss: man zeigt, dass die Aussage für das nächste Glied (hier: n+1) gilt.
Du musst also zeigen, dass
[mm]\prod_{i=0 }^{\red{n+1}} F_i = F_{\red{n+2}} - 2[/mm].
Dabei darfst du die Annahme aus dem 2. Schritt verwenden.
Du darfst also verwenden, dass
[mm]\prod_{i=0}^{n+1} F_i = \left(\prod_{i=0}^{n}F_i\right) \cdot F_{n+1} \mathop{=}\limits_{\overbrace{\text{Annahme aus 2.}} }(F_{n+1} -2 ) \cdot F_{n+1} \stackrel{!}{=} F_{n+2} - 2[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Erstmal danke, dein Antwort hat mir auch weitergeholfen. Allerdings nur insofern, dass ich meinen Lösungsansatz bestätigt sehe.
Wenn ich allerdings die o.g. Induktionsbehauptung die Formel [mm] Fn:=(2^2^n)+1 [/mm] einsetze, komm ich am Ende auf kein schlüssiges Ergebnis.
Theoretisch wäre dann ja Folgendes zu zeigen:
[mm] (2^2 [/mm] ^ (n+1) + 1 - [mm] 2)(2^2 [/mm] ^ (n+1) + 1) = [mm] 2^2 [/mm] ^ (n+2) + 1 - 2
Und wenn ich das ausrechne, steht bei mir am Ende 2n=n, was ja wohl kaum ein schlüssiges Ergebnis is.
Wo liegt mein Denkfehler?
Wäre dankbar für Hilfe.
Grüße, Vaebn
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[mm](F_{n+1} - 2) * F_{n+1}
= (2^{2^{n+1}} + 1 - 2)*(2^{2^{n+1}} + 1)
= (2^{2^{n+1}} - 1)(2^{2^{n+1}} + 1)
= 2^{2^{n+1}}*2^{2^{n+1}} - 1
= 2^{(2^{n+1} + 2^{n+1})} - 1
= 2^{(2*2^{n+1})} - 1
= 2^{2^{n+2}} - 1
= 2^{2^{n+2}} + 1 - 2
= F_{n+2} - 2[/mm]
MfG,
Gono.
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