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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Di 30.10.2007 | | Autor: | sonne19 |
Hallo zusammen,
aufgabe:
beweisen sie durch vollständige induktion folgende aussagen für alle n [mm] \in \IN [/mm] ,
a.) [mm] 2^{3n} [/mm] - 1 ist immer durch 7 teilbar.
b.) [mm] 7^{2n} [/mm] - [mm] 2^{n} [/mm] ist immer durch 47 teilbar.
hier meine lösung/ansätze:
a.)
induktionsanfang:
n=1
-> [mm] 2^3 [/mm] -1 =7
-> wahre aussage
induktionsvoraussetzung:
2^(3n) -1 ist für alle n [mm] \in \IN [/mm] durch 7 teilbar
Induktionsschluss:
für n+1
-> 2^(3(n+1)) -1 = 2^(3n+3) -1 = [mm] 8^n [/mm] *8-1= [mm] 8^n*(7+1)-1=8^n *7+8^n-1
[/mm]
[mm] ->8^n *7+8^n-1 [/mm] ist durch 7 teilbar, da:
[mm] 8^n [/mm] *7 durch 7 teilbar ist und
[mm] 8^n-1= [/mm] 2^(3n) -1 laut induktionsvoraussetzung durch 7 teilbar ist.
q.e.d.
b.)
induktionsanfang:
n=1
-> 49-2=47
-> wahre aussage
induktionsvoraussetzung:
[mm] 7^{2n}-2^n [/mm] ist für alle n [mm] \in \IN [/mm] durch 47 teilbar
Induktionsschluss:
für n+1
-> 7^(2(n+1)) -2^(n+1) = 7^(2n+2)-2^(n+1)= [mm] 49^n [/mm] *49 - [mm] 2^n *2=49^n *(47+2)-2^n*2=49^n*47+2(49^n-2^n)= 49^n*47+2(7^{2n}-2^n)
[/mm]
[mm] ->49^n*47+2(7^{2n}-2^n) [/mm] ist durch47 teilbar, da:
[mm] 49^n*47 [/mm] durch47 teilbar ist und
[mm] 2(7^{2n}-2^n) [/mm] ist durch47 teilbar da laut induktionsvoraussetzung [mm] 7^{2n}-2^n [/mm] durch 47 teilbar ist
q.e.d.
kann mir jemand sagen ob ich das so richtig gemacht habe/ ob etwas fehlt, danke!!
grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Di 30.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo sonne!
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Di 30.10.2007 | | Autor: | sonne19 |
danke!! 
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