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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Di 29.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, komme bei folgendem Beweis nicht weiter bzw. weiss erst gar nicht recht wie beginnen:
Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass die Funktion
[mm]f:\IR \textbackslash \left\{-1\right\} \to \IR : x\mapsto \bruch{x}{x+1}[/mm]
die allgemeine Ableitung
[mm]f^{n} (x) = \bruch{(-1)^{n+1} *n!}{(x+1)^{n+1}}\quad\quad \left(n\in\IN\right)[/mm]
besitzt ?
Gibt es dabei ein festes Vorgehen?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Di 29.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo, komme bei folgendem Beweis nicht weiter bzw. weiss
> erst gar nicht recht wie beginnen:
>
> Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass die
> Funktion
>
> [mm]f:\IR \textbackslash \left\{-1\right\} \to \IR : x\mapsto \bruch{x}{x+1}[/mm]
>
> die allgemeine Ableitung
>
> [mm]f^{n}(x) = \bruch{(-1)^{n+1} *n!}{(x+1)^{n+1}} \quad\quad \left(n\in\IN\right)[/mm]
> besitzt ?
>
> Gibt es dabei ein festes Vorgehen?
Ja.
1) Zeige, dass die Formel für n=1 (also für die 1. Ableitung) stimmt. (Das ist der Induktionsanfang).
2) Nimm an, die Formel gilt für die n-te Ableitung (Induktionsvoraussetzung).
3) Leite daraus ab, dass die Formel auch für (n+i) gilt. Hier konkret: n-te Ableitung noch einmal ableiten und durch Umformen des entstehenden Terms zeigen, dass das genau der Term ist, den man laut gegebener Ableitungsformel beim einsetzen von (n+1) erhalten würde.
>
> lg Surfer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, also hab das jetzt mal gemacht, aber irgendwie bleibt bei der Ableitung von [mm] f^{n} [/mm] ein x+1 zuviel stehen:
[mm] f^{n}' [/mm] = [mm] \bruch{(x+1)^{n+1} - ((-1)^{n+1} *n!(n+1)(x+1)^{n})}{(x+1)^{2n+2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{(x+1)^{1} - ((-1)^{n+1} *n!(n+1))}{(x+1)^{n+2}}
[/mm]
so und hier ist aber das vordere (x+1) zuviel,weil wenn ich jetzt in die allgemeine Formel n+1 einsetze erhalte ich:
[mm] f^{n+1} [/mm] (x) = [mm] \bruch{(-1)^{n}*(-1)^{2}*(n+1)!}{(x+1)^{n+2}}
[/mm]
? wo liegt mein Fehler?
Wie muss ich denn den 2)Schritte schriftlich darstellen, also dass ich davon ausgehe, dass es für n stimmt?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> Hallo, also hab das jetzt mal gemacht, aber irgendwie
> bleibt bei der Ableitung von [mm]f^{n}[/mm] ein x+1 zuviel stehen:
>
> [mm]f^{n}'[/mm] = [mm]\bruch{(x+1)^{n+1} - ((-1)^{n+1} *n!(n+1)(x+1)^{n})}{(x+1)^{2n+2}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das erste [mm] $(x+1)^{n+1}$ [/mm] im Zähler ist zuviel. Der Zähler von [mm] $f^{(n)}(x)$ [/mm] ist von gar nicht von x abhängig, der wird also beim Ableiten zu 0 !!
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{(x+1)^{1} - ((-1)^{n+1} *n!(n+1))}{(x+1)^{n+2}}[/mm]
> so und hier ist aber das vordere (x+1) zuviel,weil wenn ich
> jetzt in die allgemeine Formel n+1 einsetze erhalte ich:
>
> [mm]f^{n+1}[/mm] (x) =
> [mm]\bruch{(-1)^{n}*(-1)^{2}*(n+1)!}{(x+1)^{n+2}}[/mm]
> ? wo liegt mein Fehler?
Du hast doch die Induktionsvorausetzung [mm] $f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}\cdot{}n!}{(x+1)^{n+1}}$
[/mm]
Das abgeleitet ergibt doch [mm] $f^{(n+1)}(x)=\frac{0\cdot{}(x+1)^{n+1}-(-1)^{n+1}\cdot{}n!\cdot{}(n+1)\cdot{}(x+1)^n}{\left[(x+1)^{n+1}\right]^2}=....$
[/mm]
> Wie muss ich denn den 2)Schritte schriftlich darstellen,
> also dass ich davon ausgehe, dass es für n stimmt?
Induktionsschritt: [mm] $n\to [/mm] n+1$
IV: Gelte die Beh. für beliebiges, aber festes n, also [mm] $f^{(n)}(x)=..$
[/mm]
Dann ist [mm] $f^{(n+1)}(x)=...$ [/mm] usw. s.o.
> lg Surfer
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Ah ok,
dann hab ich ja für das in die Formel eingesetzte n+1:
[mm] f^{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n}*(-1)^{2}*(n+1)!}{(x+1)^{n+2}}
[/mm]
und für die Ableitung von [mm] f^{n} [/mm] erhalte ich:
[mm] f^{n}` [/mm] = [mm] \bruch{-(-1)^{n}*(-1)^{1}*(n+1)!}{(x+1)^{n+2}}
[/mm]
oder?
lg und danke Surfer
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> dann hab ich ja für das in die Formel eingesetzte n+1:
>
> [mm]f^{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^{n}*(-1)^{2}*(n+1)!}{(x+1)^{n+2}}[/mm]
>
> und für die Ableitung von [mm]f^{n}[/mm] erhalte ich:
>
> [mm]f^{n}'[/mm] = [mm]\bruch{-(-1)^{n}*(-1)^{1}*(n+1)!}{(x+1)^{n+2}}[/mm]
Hallo,
Da bei beidem dasselbe rauskommt ( [mm]-(-1)^{n}*(-1) = (-1)^{n+2}[/mm] ), stimmt es offenbar  Das musst du aber nochmal hübsch aufschreiben. Ein Vorschlag:
IA:
Es ist
[mm]f'(x) = \left(\bruch{x}{x+1}\right)' \overset{Q.-R.}{=} \bruch{1*(x+1) - x*1}{(x+1)^{2}} = \bruch{1}{(x+1)^{2}} = \bruch{(-1)^{1+1}*1!}{(x+1)^{1+1}} = f^{(1)}(x). \quad w.A.[/mm]
IV: Es gelte [mm]f^{(n)}(x) = \bruch{(-1)^{n+1}*n!}{(x+1)^{n+1}}[/mm]
IS: [mm]n \to n+1[/mm]
IB:
Es ist (Achtung: Da der Zähler von x unabhängig, musst du gar nicht mehr Quotientenregel benutzen!)
[mm]\left(f^{n}\right)' = \left(\bruch{(-1)^{n+1}*n!}{(x+1)^{n+1}}\right)'[/mm]
[mm]= \left((-1)^{n+1}*n!*(x+1)^{(n+1)*(-1)}\right)'[/mm]
[mm]\overset{P.-R.}{=} (-1)^{n+1}*n!*(n+1)*(-1)*(x+1)^{-n-2}[/mm]
[mm]= (-1)^{n+2}*(n+1)!*(x+1)^{(n+2)*(-1)}[/mm]
[mm]= \bruch{(-1)^{n+2}*(n+1)!}{(x+1)^{n+2}}[/mm]
[mm]= \bruch{(-1)^{(n+1)+1}*(n+1)!}{(x+1)^{(n+1)+1}}[/mm]
[mm]=f^{n+1}(x) \quad w.A.[/mm]
Stefan.
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