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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:31 Di 28.04.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass [mm] 13^{n} -5^{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] durch 8 teilbar ist. |
Hallo,
Also sowohl der Induktionsanfang als auch die Induktionsvorraussetzung ist mir klar, das Problem macht mit der Induktionsschritt:
n [mm] \to [/mm] n+1:
[mm] 13^{n+1} -5^{n+1}
[/mm]
Mit Umformen geht da wohl nicht allzu viel, also frag ich mich ob man da nicht einfach sagen kann: Sei n+1= n´ , n´ [mm] \in \IN [/mm] und aus [mm] 13^{n´} -5^{n´} [/mm] folgt nach Induktionsvoraussetzung, dass es durch 8 teilbar ist. Ist dies formal so korrekt?
Vielen Dank schon mal im voraus und viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:35 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass [mm]13^{n} -5^{n}[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] durch 8 teilbar ist.
> Hallo,
> Also sowohl der Induktionsanfang als auch die
> Induktionsvorraussetzung ist mir klar, das Problem macht
> mit der Induktionsschritt:
> n [mm]\to[/mm] n+1:
> [mm]13^{n+1} -5^{n+1}[/mm]
> Mit Umformen geht da wohl nicht allzu
> viel, also frag ich mich ob man da nicht einfach sagen
> kann: Sei n+1= n´ , n´ [mm]\in \IN[/mm] und aus [mm]13^{n´} -5^{n´}[/mm]
> folgt nach Induktionsvoraussetzung, dass es durch 8 teilbar
> ist. Ist dies formal so korrekt?
Nein. Nach Induktionsvoraussetzung gilt ja nicht, dass [mm] $13^{n'} [/mm] - [mm] 5^{n'}$ [/mm] durch 8 teilbar ist.
Mach das doch anders:
a) benutze [mm] $a^{n+1} [/mm] = a [mm] \cdot a^n$;
[/mm]
b) schreibe $13 = 8 + 5$;
c) multipliziere aus, klammer anders zusammen, wende die Induktionsvoraussetzung auf den einen Teil an und der andere Teil ist trivialerweise durch 8 teilbar.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:46 Di 28.04.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank, das hat mir wirklich sehr geholfen!
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