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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Di 02.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Beweisen Sie für alle reellen Zahlen x und alle natürlichen Zahlen n:
[mm] $\prod_{k=0}^{n-1} (1+x^{2^{k}})= \sum_{m=0}^{2^{n} -1} x^{m}$ [/mm] |
Hallo,
Also soweit der Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung sind natürlich klar, jedoch der Induktionsschritt macht mir doch arge Probleme:
n [mm] \mapsto [/mm] n+1:
[mm] $\prod_{k=0}^{n} (1+x^{2^{k}}) [/mm] = [mm] \prod_{k=0}^{n-1} (1+x^{2^{k}}) [/mm] *(1+ [mm] x^{2^{n}})$ [/mm] =(nach Induktionsvoraussetzung:) $(1+ [mm] x^{2^{n}})* \sum_{m=0}^{2^{n} -1} x^{m} [/mm] = [mm] \sum_{m=0}^{2^{n} -1} (x^{m}+ x^{2^{n}+m})$ [/mm] und an der Stelle weiß ich nich mehr wie ich weitermachen muss, bzw. generell is es mir unklar, wie ich die obere Summationsgrenze auf [mm] 2^{n+1} [/mm] -1 also 2* [mm] 2^{n}-1 [/mm] bekommen sollte. Bin auch ahnungslos, wenn ich die Geschichte im Induktionsschritt von der Summe ausgehend beweisen sollte.
Könnte mir bitte jemand hier weiterhelfen? Wär euch wirklich sehr dankbar.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Di 02.06.2009 | | Autor: | Kinghenni |
hi
ich weiß nicht wie es den anderen mitgliedern geht, aber ich kann deine formel einfach nicht lesen
vll musst du den artikel nochmal bearbeiten
gruß kinghenni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Di 02.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
also ich kann zur Zeit überhaupt keinen Artikel mit Formeln richtig lesen. Scheint also ein allgemeines Problem zu sein.
Gruß barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Di 02.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Das Problem mit den Formeln sollte jetz gelöst sein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Di 02.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
habe den Artikel nach bestem Wissen und Gewissen neu editiert.
Es sieht so aus, als ob derzeit deutsche Kommandos wie \produkt
oder \summe nicht korrekt arbeiten.
vg Luis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Di 02.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Beweisen Sie für alle reellen Zahlen x und alle natürlichen
> Zahlen n:
> [mm]\prod_{k=1}^{n-1} (1+x^{2^{k}})= \sum_{m=0}^{2^{n} -1} x^{m}[/mm]
>
Stimmen die Indices? Wie sieht das Produkt aus fuer $n=1_$?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Di 02.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Ups, k=0 muss das bei dem Produkt natürlich heißen, sorry
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Hallo ms2008,
> Beweisen Sie für alle reellen Zahlen x und alle natürlichen
> Zahlen n:
> [mm]\prod_{k=0}^{n-1} (1+x^{2^{k}})= \sum_{m=0}^{2^{n} -1} x^{m}[/mm]
>
> Hallo,
> Also soweit der Induktionsanfang und die
> Induktionsvoraussetzung sind natürlich klar, jedoch der
> Induktionsschritt macht mir doch arge Probleme:
> n [mm]\mapsto[/mm] n+1:
> [mm]\prod_{k=0}^{n} (1+x^{2^{k}}) = \prod_{k=0}^{n-1} (1+x^{2^{k}}) *(1+ x^{2^{n}})[/mm]
> =(nach Induktionsvoraussetzung:) [mm](1+ x^{2^{n}})* \sum_{m=0}^{2^{n} -1} x^{m} = \sum_{m=0}^{2^{n} -1} (x^{m}+ x^{2^{n}+m})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Schreibe die Summe mal lieber als 2 Summen, dann sieht man es besser ...
$(1+ [mm] x^{2^{n}})\cdot{} \sum_{m=0}^{2^{n} -1} x^{m}= \left(\sum_{m=0}^{2^{n} -1}{x^m}\right)+\left( \sum_{m=0}^{2^{n} -1} x^{2^n+m} \right)$
[/mm]
Nun schreibe dir entweder mal beide Summen ein wenig aus mit den nötigen Pünktchen 
oder mache "formal schöner" eine Indexverschiebung in der hinteren Summe.
Lasse m statt bei 0 bei [mm] $2^n$ [/mm] loslaufen, erhöhe also den Laufindex m um [mm] $2^n$ [/mm] am Summenzeichen und gleiche das aus, indem du glz. in der Summe m um [mm] $2^n$ [/mm] erniedrigst ...
> und an der Stelle weiß ich nich mehr wie ich weitermachen
> muss, bzw. generell is es mir unklar, wie ich die obere
> Summationsgrenze auf [mm]2^{n+1}[/mm] -1 also 2* [mm]2^{n}-1[/mm] bekommen
> sollte. Bin auch ahnungslos, wenn ich die Geschichte im
> Induktionsschritt von der Summe ausgehend beweisen sollte.
> Könnte mir bitte jemand hier weiterhelfen? Wär euch
> wirklich sehr dankbar.
> Viele Grüße
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Di 02.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank,
Also ist [mm] \summe_{m=0}^{2^{n} -1} x^{m} [/mm] + [mm] \summe_{m=0}^{2^{n} -1} x^{2^{n} + m} [/mm] = [mm] \summe_{m=0}^{2^{n} -1} x^{m} [/mm] + [mm] \summe_{m= 2^{n}}^{2^{n}+2^{n} -1 =2^{n+1} -1} x^{m} [/mm] = [mm] \summe_{m=0}^{2^{n+1} -1} x^{m} [/mm] ? [mm] \Box
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank,
> Also ist [mm]\summe_{m=0}^{2^{n} -1} x^{m}[/mm] + [mm]\summe_{m=0}^{2^{n} -1} x^{2^{n} + m}[/mm] = [mm]\summe_{m=0}^{2^{n} -1} x^{m}[/mm] + [mm]\summe_{m= 2^{n}}^{2^{n}+2^{n} -1 =2^{n+1} -1} x^{m}[/mm] = [mm]\summe_{m=0}^{2^{n+1} -1} x^{m}[/mm] ? [mm]\Box[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
ganz recht!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Di 02.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
danke, das sah auf anhieb schwerer aus, als es letztlich war
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