vollstaendige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 So 08.11.2009 | | Autor: | azrael1 |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollstaendige Induktion:
a) Fuer n [mm] \in \IN_{0} [/mm] und q [mm] \in \IR [/mm] (ohne 1) gilt die geometrische Summenformel
[mm] \summe_{j=0}^{n} q^{j} [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
b) Fuer jedes natuerliche n [mm] \ge [/mm] 2 und alle reellen x > -1, x [mm] \not= [/mm] 0, gilt die Bernoullische Ungleichung [mm] (1+x)^{n} [/mm] > 1+ nx. |
Hallo,
zu a):
soll/darf man bei a) erstmal fuer j 0 einsetzen und dann rechnen, bis man [mm] 0=q-q^{n+1} [/mm] hat? Waere das denn nicht die Induktionsannahme? Die IV ist doch die eigentliche Gleichung wie sie da steht oder? Zieht man das n+1 beim Induktionsschritt in die Gleichung? Tappe noch sehr im Dunkeln ;D
zu b) habe ich leider keinen Ansatz. Wie beweist man denn eine Ungleichung???
Vielen Dank schon mal fuer euren Zeitaufwand.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 So 08.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a)
Hier sollst du ja Induktion nach n durchführen (da du zeigen sollst, dass diese Gleichung für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt).
Daher musst du überall für n=0 einsetzen und schauen, ob etwas Wahres rauskommt.
Das ist dann der Induktionsanfang.
Wenn das gilt, dann stimmt also die Gleichung [mm] \summe_{j=0}^{n} q^{j} [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] für ein bestimmtes n (nämlich für n=0, was du ja eben gezeigt hast).
Daher kannst du die Gleichung [mm] \summe_{j=0}^{n} q^{j} [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] jetzt als Induktionsannahme im Induktionsschritt verwenden, der gleich folgt.
n [mm] \mapsto [/mm] n+1:
Zu zeigen: [mm] \summe_{j=0}^{n+1} q^{j} [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+2}}{1-q}.
[/mm]
Und es ist oft hilfreich, wenn man mit dem komplizierteren Ausdruck anfängt beim Induktionsschritt, hier also mit der Summe links.
[mm] \summe_{j=0}^{n+1} q^{j}=\summe_{j=0}^{n} q^{j}+q^{n+1}
[/mm]
Dann kannst du [mm] \summe_{j=0}^{n} q^{j} [/mm] als [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] schreiben (Induktionsvoraussetzung).
Also: [mm] \summe_{j=0}^{n+1} q^{j}=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}
[/mm]
Und den rest kriegst du dann sicher selber hin (Hauptnenner bilden, ...).
Wenn das dann alles so klappt, hast du folgendes gezeigt:
Für n=0 ist die Gleichugn war, daher auch für 0+1=1.
Da die Gleichung für 1 wahr ist, ist sie es auch für 1+1=2, usw.
b) kannst du ja jetzt mal allein versuchen. Erstmal n=0 einsetzen und gucken, ob das stimmt. Und wenn das stimmt, kannst du beim Induktionsschritt immer [mm] (1+x)^n>1+nx [/mm] verwenden.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 08.11.2009 | | Autor: | azrael1 |
ok, also a) is super, danke dafuer. weiss nicht, warum ich sowas nie selber sehe...
bei b) gilt diese ungleichung ja nur, fuer alle n [mm] \ge [/mm] 2, 0 darf ich also nicht einsetzen. starte ich dann meinen IA mit 2 oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 So 08.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ok, also a) is super, danke dafuer. weiss nicht, warum ich
> sowas nie selber sehe...
Das ist ein Phänomen in der Mathematik, wenn mans erklärt bekommt, ists meistens super einfach 
> bei b) gilt diese ungleichung ja nur, fuer alle n [mm]\ge[/mm] 2, 0
> darf ich also nicht einsetzen. starte ich dann meinen IA
> mit 2 oder wie?
Yep, du fängst beim kleinsten Wert an, für den es gilt, sonst funktioniert das  Induktionsprinzip nicht.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 So 08.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Für n=0 und n=1 stimmt die Ungleichung auch, wie du durch einsetzen herausfinden kannst.
Aber du hast Recht, wenn die Aufgabe sagt, dass das für n [mm] \ge [/mm] 2 gelten soll, musst du mit n=2 anfangen und brauchst die Fälle für n=0 und n=1 nicht beachten.
Teufel
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