vollständige Induktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 So 01.05.2005 | | Autor: | kathaR |
Ich brauche dringend Hilfe! Ich muss den Beweis durch vollständige Induktion an einer konkreten Aufgabe abwenden, verstehe es aber nicht! Bitte helft mir! Ich soll beweisen:
[mm] \bruch{1}{1*3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3*5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5*7}+...+ \bruch{1}{(2n-1)(2n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2n+1}
[/mm]
und: 7 ist Teiler von [mm] 2^{3n} [/mm] + 13
Ich bin leider in Beweisen eine totale Niete. Bitte dringend un Hilfe!!!!!!!!!!!Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 So 01.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, zunächst einmal erwarten wir gemäß unseren Forenregeln eigene Ideen und Ansätze, die du bitte ab sofort lieferst, ansonsten wird die Wahrscheinlichkeit, dass die hier jemand hilft, stark sinken.
Beim ersten Beweis musst du im Induktionsschritt doch nur
[mm] $\frac{n}{2n+1} [/mm] + [mm] \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} [/mm] = [mm] \frac{n+1}{2n+3}$
[/mm]
nachweisen, was eine einfache Rechenübung ist.
Beim zweiten Beweis solltest du im Induktionsschritt
[mm] $2^{3(n+1)} [/mm] + 13 = [mm] 2^{3n} \cdot 2^3 [/mm] + 13 = [mm] 2^{3n}\cdot [/mm] 7 + [mm] 2^{3n} [/mm] + 13$
ausnutzen. Der Rest ist dann nicht mehr schwierig.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Mo 02.05.2005 | | Autor: | kathaR |
Hallo noch mal. erst einmal vielen Dank für die Antworten, aber ich versteh das leider nicht. Wie gesagt, ich bin die totale Versagerin in Mathe und scheitere schon bei den einfachsten Beweisen.
kännte mir vielleicht jemand beide Aufgaben ganz genau erklären?
ich hab beireits versucht zwischeb den "=" zusammenzufassen aber da ist nur das hier rausgekomen:
[mm] \bruch{1}{1+3}+...+\bruch{1}{(2n-1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(2(n+1)-1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{n}{2n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(n+1)-1}= \bruch{n+1}{2(n+1)+1}
[/mm]
passt das so ansatzweise oder liege ich da völlig falsch? bitte helft mir
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Hallo kathaR,
> Hallo noch mal. erst einmal vielen Dank für die Antworten,
> aber ich versteh das leider nicht. Wie gesagt, ich bin die
> totale Versagerin in Mathe und scheitere schon bei den
> einfachsten Beweisen.
> kännte mir vielleicht jemand beide Aufgaben ganz genau
> erklären?
> ich hab beireits versucht zwischeb den "="
> zusammenzufassen aber da ist nur das hier rausgekomen:
> [mm]\bruch{1}{1+3}+...+\bruch{1}{(2n-1}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(2(n+1)-1)}[/mm]
> = [mm]\bruch{n}{2n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2(n+1)-1}= \bruch{n+1}{2(n+1)+1}[/mm]
>
mit der "langen" Summe solltest du gar nicht mehr rechnen, sie wurde doch durch
$ [mm] \bruch{1}{1\cdot{}3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3\cdot{}5} [/mm] + ...+ [mm] \bruch{1}{(2n-1)(2n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2n+1}$ [/mm] ersetzt!
zu zeigen ist nur noch dieses:
[mm] $\bruch{n}{2n+1} +\bruch{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{2(n+1)+1} [/mm] $
Also auf den Hauptnenner bringen, Zähler geschickt in ein Produkt verwandeln:
[mm] $\bruch{n}{2n+1} +\bruch{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)} [/mm] = [mm] \bruch{2n^2 + 3n + 1}{(2n+1)(2(n+1)+1)}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2(n+1)+1)}$
[/mm]
kürzen:
$= [mm] \bruch{n+1}{(2(n+1)+1)}$ [/mm] wie verlangt ... 
man muss einfach mal den Mut haben, die Brüche umzuformen!
Rechne bitte nach - wenn nötig mit Zwischenschritten!
Zeig uns mal deine Rechnungen zur zweiten Aufgabe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 02.05.2005 | | Autor: | kathaR |
erst einmal danke für deine antwort.Ich versuch es mal mit dem Tip von Stefan: [mm] 2^{3n} \* [/mm] 7 + [mm] 2^{3n} [/mm] + 13
wenn ich für n=1 einsetze, dann ist [mm] 2^{3n} \*7 [/mm] durch 7 teilbar; denn 56 ist durch 7 teilbar.
der Rest [mm] 2^{3n} [/mm] + 13 ergibt 21 und ist folglich auch durch 7 teilbar. Ist das wenigstens etwas richtig??????Danke
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Hallo!
[mm] $2^{3n}*7$ [/mm] ist offensichtlich durch $7$ teilbar, da es ja ein Faktor ist. Und [mm] $2^{3n}+13$ [/mm] ist nach Induktionsvoraussetzung durch $7$ teilbar... Für den Induktionsanfang setzt du am besten $n=0$...
Gruß, banachella
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Hallo,
> erst einmal danke für deine antwort.Ich versuch es mal mit
> dem Tip von Stefan: [mm]2^{3n} \*[/mm] 7 + [mm]2^{3n}[/mm] + 13
> wenn ich für n=1 einsetze, dann ist [mm]2^{3n} \*7[/mm] durch 7
> teilbar; denn 56 ist durch 7 teilbar.
> der Rest [mm]2^{3n}[/mm] + 13 ergibt 21 und ist folglich auch
> durch 7 teilbar. Ist das wenigstens etwas
> richtig??????Danke
>
ja, das ist der sog. Induktionsanfang (den du auch mit n=0 hättest durchführen können...)
Das Schwierigere ist allerdings der "Induktionsschritt" von n auf n+1:
zu zeigen ist: [mm] $2^{3(n+1)} [/mm] + 13 $ ist immer noch durch 7 teilbar, wenn [mm] $2^{3n} [/mm] + 13 $ durch 7 teilbar ist.
Nun gilt: [mm] $2^{3(n+1)} [/mm] + 13 = [mm] 2^{3n}*2^3 [/mm] + 13 = [mm] 2^{3n}*(7+1) [/mm] + 13$ Das ist der "Trick" von Stefan!
Erkennst du jetzt den Rest?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Di 03.05.2005 | | Autor: | kathaR |
Hallo noch mal und nochmals vielen Dank für die große Hilfe!
Ich glaube ich hab's raus:
[mm] 2^{3n} \* [/mm] (7+1) + 13 kann ich doch umformen zu:
[mm] 2^{3n} \*7 [/mm] + (1+13) , denn demnach wären ebenfalls beide Summanden durch 7 teilbar. Stimmt? oder völliger Quatsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Di 03.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo KathaR!
> [mm]2^{3n} \*[/mm] (7+1) + 13 kann ich doch umformen zu:
> [mm]2^{3n} \*7[/mm] + (1+13) , denn demnach wären ebenfalls beide
> Summanden durch 7 teilbar. Stimmt? oder völliger Quatsch?
Nicht "völliger Quatsch", aber auch nicht richtig!
Der Faktor [mm] $2^{3n}$ [/mm] bezieht sich ja sowohl auf die "7" als auch auf die "1"!
Es entsteht also nach dem Ausmultiplizieren der Klammer:
[mm] $2^{3n} [/mm] * (7+1) + 13 \ = \ [mm] 2^{3n}*7 [/mm] + [mm] 2^{3n}*1 [/mm] + 13 \ = \ [mm] 7*2^{3n} [/mm] + [mm] 2^{3n}+13$
[/mm]
Der 1. Ausdruck scheint ja offensichtlich durch 7 teilbar (wie Du schon erkannt hast), aber was ist nun mit dem Rest?
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Sieh' Dir den Rest mal als Ganzes an. Und dann haben wir ja noch gar nicht die Induktionsvoraussetzung benutzt.
Was kannst Du also über den Rest [mm] $2^{3n}+13$ [/mm] sagen?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Mi 04.05.2005 | | Autor: | kathaR |
genau das wollte ich auch nich fragen:
Wie bilde ich die Induktionsvorraussetzung? und Wann und wie setze ich sie ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo kathar,
wenn du einen Beweis mit vollständiger Induktion durchführt hast du ja einen vermuteten Zusammenhang $A(n)$ für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Als erstes zeigt man beim Induktionsanfang, dass diese Annahme für ein bestimmten Wert erfüllt ist also [mm] $A(n_0)$, [/mm] wobei meistens [mm] $n_0=1$ [/mm] ist.
Im Induktionsschritt zeigt man dann, dass wenn man $A(n)$ als richtig annimmt auch $A(n+1)$ stimmt. Dieses nennt man dann Induktionsvoraussetzung, weil man für den Induktionschritt voraussetzt, dass $A(n)$ bereits für ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt.
Daran erkennst du, dass diese Induktionsvoraussetzung mit der zu beweisenden Behauptung übereinstimmt, du benutzt diese dann um den Induktionsschritt zu zeigen.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Do 05.05.2005 | | Autor: | kathaR |
Danke! aber dann verstehe ich nicht, wie mir die Induktionsvorraussetzung über [mm] 2^{3n} [/mm] + 13 sagen soll?
tut mir Leid, wenn ich so schwer von Begriff bin, aber ich schaffe es leider nicht alleine diese Aufgabe zu rechnen.
Bitte helft mir diese Aufgabe zu ende zu rechnen. ich bin zu doof dafür
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Do 05.05.2005 | | Autor: | kathaR |
Hallo ihr Mathe-Genies!
Ich hab eine Bitte: könnte mir vielleicht jemand die letzte Aufgabe von Anfang bid Ende erklären, denn immer in diesen kleinen Schritten gerechnet bin ich jetzt total durcheinander.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Do 05.05.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo Katha,
> Ich hab eine Bitte: könnte mir vielleicht jemand die
> letzte Aufgabe von Anfang bid Ende erklären, denn immer in
> diesen kleinen Schritten gerechnet bin ich jetzt total
> durcheinander.
Eigentlich .... dürfte ich es nicht machen. Aber ich tu es.
Du musst jedoch bedenken, dass du nur durch eigenes Arbeiten einen Bezug zur Mathematik herstellst. Also gehe (arbeite!) bitte sehr aufmerksamm und hochkonzentriert meine Lösung durch.
Mach dir jeden Schritt klar!
Wir sollen zeigen, dass 7 ein Teiler von [mm]2^{3n}+13[/mm] ist.
Nun überprüfen wir ob unsere Aussage für n=0 gilt:
[mm]2^{0}+13=14=2*7[/mm]
Wir sehen also, dass unsere Aussage für n=0 bewiesen ist.
Jetzt setzen wir vorraus , dass wir unsere Aussage für n bewiesen haben.
Das heißt 7 ist ein Teiler von [mm]2^{3n}+13[/mm]!!
Das ist unsere Induktionsvorrausetzung.
Nun überprüfen wir die Aussage für n+1.
[mm]2^{3(n+1)}+13=2^{3n+3}+13=2^{3n}*2^{3}+13=2^{3n}*8+13[/mm]
Bist du bei allen Rechenschritten mitgekommen? Wenn nicht dann mach dich mit den  Potenzgesetz vertraut.
Wir rechnen weiter.
[mm]2^{3n}*8+13=2^{3n}*(7+1)+13=2^{3n}*7+2^{3n}*1+13=2^{3n}*7+2^{3n}+13[/mm]
So jetzt schauen wir uns mal unser Ergebnis an.
Wir stellen fest: [mm]2^{3n}*7[/mm] ist durch 7 teilbar
Und: [mm]2^{3n}+13[/mm] ist auch durch 7 teilbar, wenn du mir nicht glaubst, dann schau mal in unsere Vorraussetzung
Jetzt ist unser Beweis fertig. Wie das?
Wieso dürfen wir denn einfach vorraussetzen, dass [mm]2^{3n}+13[/mm] durch 7 teilbar ist? Und macht es überhaupt Sinn?
Gibt es überhaupt ein solches n?
Fragen über Fragen ...
Also ein n gibt es auf jeden Fall nämlich n=0. Das haben wir schon bewiesen. Und da wir gezeigt haben, dass wenn die Ausage für n gilt, sie dann auch für n+1 gilt. Haben wir also auch schon die Aussage für 0+1 bewiesen.
Das heißt wir haben noch ein n gefunden für das unsere Ausage wahr ist, nämlich n=1. Und da wir gezeigt haben, dass wenn die Aussage für n gilt,
sie dann auch für n+1 gilt. Haben wir also auch schon die Aussage für 1+1=2 bewiesen.
Das heißt wir haben noch ein n gefunden für das unsere Aussage wahr ist,
nämlich n=2. Und da ....
Na, fällt dir was auf?
Wir haben es also tatsächlich geschafft.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Fr 06.05.2005 | | Autor: | kathaR |
Vielen Dank! Das war , glaube ich, die beste Erklärung bisher.
Jetzt habe ich diese Aufgabe wenigstens verstanden! Die ganzen Teilschritte haben mich ganz verwirrt.
du hast mir zwar nur den letzen Teil der Aufgabe erkjlärt, aber das war genau der Teil, den ich nicht verstanden habe. Ich habe nämlich nicht die Zusammenhänge der einzelnen Vorraussetzungen nicht verstanden und konnte sie deshalb auch nciht anwenden, geschweige denn miteinander verknüpfen.
Also noch einmal vielen Dank an alle, die mir geholfen haben!!!!!!!!!!!!!!!!
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
