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| Aufgabe | a) Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptung:
Für alle n [mm] \in\IN [/mm] (einschließlich der 0) gilt: 9 teilt [mm] 10^n [/mm] -1
b) Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptung:
Für alle n [mm] \in\IN [/mm] (einschließlich der 0),
[mm] a_0, a_1, a_2, a_3, [/mm] .... , [mm] a_n \in \{0,..., 9\}: [/mm]
9 teilt [mm] \sum_{k=0}^{N} a_i (10^i [/mm] - 1)
c) Es sei a eine natürliche Zahl mit:
a= [mm] \sum_{k=0}^{N} a_i *10^i
[/mm]
und n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a_0, a_1, a_2, a_3, [/mm] .... , [mm] a_n \in \{0,..., 9\}.
[/mm]
Weiterhin sei die Quersumme von a mit Q(a) bezeichnet. D.h.:
Q(a).= [mm] \sum_{k=0}^{N} a_i. [/mm]
Beweisen Sie: 9 teilt a [mm] \gdw [/mm] 9 teilt Q(a).
d) Formulieren Sie eine andere Teilbarkeitsregel. |
Hallo ihr Lieben,
ich komm irgendwie mal wieder nicht weiter -.-
Ich weiß, dass ich für a,b und c die (ggf. erweiterte (?)) vollständige Induktion nutzen kann, aber iwie weiß ich nicht wie.
Der Induktionsanfang und der Anfang des Induktionsschrittes sind jeweils logisch, aber dann?
Keine Ahnung, ich weiß irgendwie nicht wie der Beweis der Induktionsbehauptung auszusehen hat. *seufz*
Wäre euch super dankbar, wenn ihr mir helfen könntet.
Lg Verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Sa 30.01.2010 | | Autor: | gfm |
Mit der geometrischen Reihe
[mm] 1+q+q^2+\ldots+q^{n-1}=\bruch{q^n-1}{q-1}, [/mm] für n>0
und einer separaten Überprüfung für n=0 brauchts Du hier keine vollst. Induktion.
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Sa 30.01.2010 | | Autor: | gfm |
Wenn 9 eine Folge von Zahlen teilt, dann auch deren Reihe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 30.01.2010 | | Autor: | gfm |
c)
[mm] \sum_{i=0}^{N} a_i 10^i=\sum_{i=0}^{N} (a_i 10^i-a_i+a_i)
[/mm]
d)
Ersetze 9 durch 3.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Study1988 |
Huhu,
also erst einmal ein superliebes Dankeschön,
ich konnte mit deiner Hilfe und der Hilfe von meinem Freund die vier Aufgaben jetzt denke ich relativ gut lösen.
Leider ist mein Rucksack zurzeit noch im Auto von meinem Freund und da sind auch die Lösungen drin, wollte sie eigentlich grad posten, aber das mach ich dann nachher.
Wäre super lieb, wenn du mir sagen könntest, ob man das so beweisen kann und das einigermaßen richtig ist.
Mh, und dann hätte ich noch ein paar andere Aufgaben zum selben Thema, zu denen ich mal nen Tipp gebrauchen könnte, die kommen dann auch gleich noch :). AUf jeden Fall wie schon gesagt, ein super liebes Danke für deine Mühen :)
Lg Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Study1988 |
zu 2a)
Beweis durch vollständige Induktion über n
Induktionsanfang:Es ist zu zeigen, dass für n=1 gilt:
9 ist ein Teiler von [mm] 10^n [/mm] - 1
Sei n=1
9 ist ein Telier von
[mm] 10^n [/mm] - 1 = (da n =1)
9 ist ein Teiler von
[mm] 10^1 [/mm] - 1=
9 ist ein Teiler von 9
Nach Satz 4.1. (hatten wir in der Vorlesung) gilt, a ist ein Teiler von a.
Somit teilt 9 also sich selbst.
Induktionsschritt:
Es ist zu zeigen, dass für alle n [mm] \in [/mm] IN (einschließlich der 0) gilt
9 ist ein Teiler von [mm] 10^n [/mm] - 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 9 ist ein Teiler von 10^(n+1) - 1
Induktionsvoraussetzung: Für ein n gilt:
9 ist ein Teiler von [mm] 10^n [/mm] - 1
Beweis der Induktionsbehauptung: 9 teilt 10^(n+1) - 1
9 teilt 10^(n+1) -1=
9 teilt [mm] 10^n [/mm] * [mm] 10^1 [/mm] - 1
9 teilt [mm] 9*10^n [/mm] + [mm] 10^n [/mm] - 1
Nach Satz 4.2 gilt
a teilt b*v + c*u genau dann wenn a ein Teiler von b und ein Teiler von c ist
Hieraus folgt also, dass 9 ein Teiler von [mm] 9*10^n [/mm] + [mm] 10^n [/mm] - 1 sein muss.
1. 9 ist ein Teiler von sich selbst, also von 9
2. Nach Induktionsvoraussetzung gilt, dass 9 ein Teiler von [mm] 10^n [/mm] - 1 ist.
q.e.d.
b)
Induktionsanfang: Also für n = 0 zeigen, dass die Behauptung wahr ist.
Schließlich greift auch hier der oben erwähnte Satz 4.2.
c)
Hier habe ich mich nicht nach der vollständigen Induktion gerichtet, sondern die Behauptung erst für die eine und dann die andere Richtung gezeigt.
d)
Eine andere Teilbarkeitsregel wäre 2 ist ein Teiler von [mm] 3^n [/mm] + 1
Ich muss morgen die Aufgaben abgeben (werden zwar bewertet, haben aber keinen Einfluss auf die Klausur), wenn sich nach deren Bewertung weitere Fragen ergeben sollten, würde ich sagen, schreibe ich noch mal.
Ist der Rest bisher so in Ordnung?
Die anderen Aufgaben, zu denen ich fragen hatte, poste ich in nem seperaten Thread, sonst wird es glaub ich zu unübersichtlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:19 Di 02.02.2010 | | Autor: | gfm |
Sieht gut aus.
LG
gfm
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