vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Imbecile |
| Aufgabe | Für eine reelle Zahl x und eine natürliche Zahl k werde definiert
[mm] \vektor{x \\ k}=\produkt_{j=1}^{k} \bruch{x-j+1}{j}= \bruch{x(x-1)...(x-k+1)}{k!}, [/mm]
also insbesondere [mm] \vektor{x \\ 0}=1.
[/mm]
Man beweise für alle reellen Zahlen x und natürlichen Zahlen k
a) [mm] \vektor{x+1 \\ k+1}=\vektor{x\\k+1}+\vektor{x\\k}
[/mm]
b) [mm] \vektor{-x\\k}=(-1)^{k} \vektor{x+k-1\\k}
[/mm]
c) [mm] \vektor{k+x\\2k+1}= -\vektor{k-x\\2k+1} [/mm] |
Hallo!
Also, ich beginne gerade für die Analysis 1 Klausur zu lernen und hänge nun schon am Anfang. Ich habe nun das Buch von Otto Forster, leider sind da aber nicht alle Lösungen enthalten.
Bei a) habe ich mal das Versucht:
[mm] \vektor{x\\k+1}+\vektor{x\\k} [/mm] = [mm] \bruch{x!}{(k+1)!(x-k-1)!} [/mm] + [mm] \bruch{x!}{k!(x-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{x!(x-k)+x!(k+1)}{(k+1)!(x-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{x!(x+1)}{(k+1)!(x-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{(x+1)!}{(k+1)!(x-k)!} [/mm] = [mm] \vektor{x+1\\k+1} [/mm]
Ich denke, das sollte so passen.
Meine Probleme liegen nun aber bei b) und c) Ich weiß leider nicht einmal wie ich hier beginnen sollte!
Kann mir jemand Starttipps geben?
Danke!
lg,
imbecile
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mo 20.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Für eine reelle Zahl x und eine natürliche Zahl k werde
> definiert
> [mm]\vektor{x \\ k}=\produkt_{j=1}^{k} \bruch{x-j+1}{j}= \bruch{x(x-1)...(x-k+1)}{k!},[/mm]
> also insbesondere [mm]\vektor{x \\ 0}=1.[/mm]
>
> Man beweise für alle reellen Zahlen x und natürlichen
> Zahlen k
> a) [mm]\vektor{x+1 \\ k+1}=\vektor{x\\k+1}+\vektor{x\\k}[/mm]
>
> b) [mm]\vektor{-x\\k}=(-1)^{k} \vektor{x+k-1\\k}[/mm]
>
> c) [mm]\vektor{k+x\\2k+1}= -\vektor{k-x\\2k+1}[/mm]
> Hallo!
>
> Also, ich beginne gerade für die Analysis 1 Klausur zu
> lernen und hänge nun schon am Anfang. Ich habe nun das
> Buch von Otto Forster, leider sind da aber nicht alle
> Lösungen enthalten.
>
> Bei a) habe ich mal das Versucht:
>
> [mm]\vektor{x\\k+1}+\vektor{x\\k}[/mm] = [mm]\bruch{x!}{(k+1)!(x-k-1)!}[/mm]
> + [mm]\bruch{x!}{k!(x-k)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{x!(x-k)+x!(k+1)}{(k+1)!(x-k)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{x!(x+1)}{(k+1)!(x-k)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(x+1)!}{(k+1)!(x-k)!}[/mm] = [mm]\vektor{x+1\\k+1}[/mm]
>
> Ich denke, das sollte so passen.
>
> Meine Probleme liegen nun aber bei b) und c) Ich weiß
> leider nicht einmal wie ich hier beginnen sollte!
> Kann mir jemand Starttipps geben?
>
> Danke!
Hallo,
du nennst dein Thema selbst "vollständige Induktion".
Hat das einen Grund?
Gruß Abakus
> lg,
> imbecile
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a) kannst du leider nicht so machen. Die Darstellung [mm] \vektor{x \\ k}=\bruch{x!}{k!(x-k)!} [/mm] gilt nämlich nur für natürliche x. Halte dich am besten nur an die im Aufgabentext angegebene Definition, damit sollten a), b) und c) gehen.
Du kannst ja bei allen Aufgaben jeweils beide Seiten in die Definition einsetzen und schauen, was rauskommt.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:07 Di 21.09.2010 | | Autor: | Imbecile |
Danke erstmal für die Antworten
@abakus: das Kapitel in dem Buch heißt vollständige Induktion... Aber ich hab mich dann an den beweis des hilfssatzes für den binomial koeffizienten gehalten, da wurde keine verwendet. eventuell hätte ich das aber sollen...
@teufel: das ist ja im prinzip die definition nur anders aufgeschrieben, aber das selbe, oder etwa nicht?
denn: [mm] \bruch{x(x-1)...(x-k+1)}{k!} [/mm] = [mm] \bruch{x!}{k!(x-k)!}
[/mm]
wenn ich den zähler und nenner ausschreibe und kürze kommt doch genau die linke seite heraus! Oder habe ich da einen denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Di 21.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal für die Antworten
>
> @abakus: das Kapitel in dem Buch heißt vollständige
> Induktion... Aber ich hab mich dann an den beweis des
> hilfssatzes für den binomial koeffizienten gehalten, da
> wurde keine verwendet. eventuell hätte ich das aber
> sollen...
>
> @teufel: das ist ja im prinzip die definition nur anders
> aufgeschrieben, aber das selbe, oder etwa nicht?
> denn: [mm]\bruch{x(x-1)...(x-k+1)}{k!}[/mm] = [mm]\bruch{x!}{k!(x-k)!}[/mm]
> wenn ich den zähler und nenner ausschreibe und kürze
> kommt doch genau die linke seite heraus! Oder habe ich da
> einen denkfehler?
Ja. Was soll denn bitteschön x! sein für z.B. x = 8/7 ??
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Di 21.09.2010 | | Autor: | Imbecile |
Ja, das ist definitiv ein Denkfehler! Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Di 21.09.2010 | | Autor: | Imbecile |
So, jetzt hab ichs mal für a) so probiert:
[mm] \produkt_{j=1}^{k+1} \bruch{x-j+1}{j} [/mm] + [mm] \produkt_{j=1}^{k} \bruch{x-j+1}{j} [/mm] = [mm] \bruch{x-k}{k-1} [/mm] * [mm] \produkt_{j=1}^{k} \bruch{x-j+1}{j} [/mm] + [mm] \produkt_{j=1}^{k} \bruch{x-j+1}{j} [/mm] = (1 + [mm] \bruch{x-k}{k+1}) [/mm] * [mm] \produkt_{j=1}^{k} \bruch{x-j+1}{j} [/mm] = [mm] \bruch{x+1}{k+1} [/mm] * [mm] \produkt_{j=1}^{k} \bruch{x-j+1}{j} [/mm] = [mm] \bruch{(x+1)*x*(x-1)*...*(x-k+1)}{(k+1)!} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{k+1} \bruch{(x+1)-j+1}{j} [/mm] = [mm] \vektor{x+1\\k+1}
[/mm]
Kann das jetzt passen?
Bei b) ist das Problem, ich hab keine Ahnung wie ich das [mm] (-1)^{k} [/mm] behandeln sollte...
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Hallo,
ich finde die Rechnung total unübersichtlich, da ohne jeden Kommentar und habe keine Lust, das im Detail nachzurechnen.
Es geht doch viel viel übersichtlicher ohne dieses Indexgewurschtel.
Nimm die Darstellung [mm]\vektor{x\\
k}=\frac{x\cdot{}(x-1)\cdot{}\ldots\cdot{}(x-k+1)}{k!}[/mm]
Dann ist zu zeigen: [mm]\vektor{x+1\\
k+1}=\vektor{x\\
k+1}+\vektor{x\\
k}[/mm]
Linkerhand steht mit obiger Definition:
[mm]\vektor{x+1\\
k+1}=\frac{(x+1)\cdot{}x\cdot{}(x-1)\cdot{}\ldots\cdot{}(x-(k+1)+1)}{(k+1)!}[/mm]
Also [mm]\frac{(x+1)\cdot{}x\cdot{}(x-1)\cdot{}\ldots\cdot{}(x-k)}{(k+1)!}[/mm]
Das soll nun [mm]=\vektor{x\\
k+1}+\vektor{x\\
k}[/mm] sein.
Verwende wieder die Darstellung oben:
[mm]=\frac{x\cdot{}(x-1)\cdot{}\ldots\cdot{}(x-(k+1)+1)}{(k+1)!} \ + \ \frac{x\cdot{}(x-1)\cdot{}\ldots\cdot{}(x-k+1)}{k!}[/mm]
Das ist nichts anderes als [mm]\frac{x\cdot{}(x-1)\cdot{}\ldots\cdot{}(x-k)}{(k+1)!} \ + \ \frac{x\cdot{}(x-1)\cdot{}\ldots\cdot{}(x-k+1)}{k!}[/mm]
Nun mache die Brüche gleichnamig, erweitere den hinteren mit [mm](k+1)[/mm] (bedenke [mm](k+1)!=k!\cdot{}(k+1)[/mm])
Dann kannst du alles auf einen Bruchstrich schreiben, sehr schön ausklammern und bekommst genau den Ausdruck, der linkerhand steht ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Di 21.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sieht gut aus.
zu b):
Nimm dir mal die linke Seite [mm] \vektor{-x \\ k} [/mm] und schreibe sie explizit hin.
[mm] \vektor{-x \\ k}=\bruch{-x*(-x-1)*...*(-x-k+1)}{k!}
[/mm]
Nun aus dem Zähler -1 aus jedem Faktor ausklammern!
[mm] ...=(-1)^k*\bruch{x*(x+1)*...*(x+k-1)}{k!}
[/mm]
Und das stimmt dann mit der anderen Seite überein.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 22.09.2010 | | Autor: | Imbecile |
Nochmals vielen Dank!
@schachuzipus: ich hab das selbe mit Prduktzeichen gemacht, da ich bei der anderen darstellung ständig schlampigkeitsfehler mache. es tut mir leid dass ich nichts auskommentiert habe, aber da ich nur kleine schritte machte, dachte ich es sei selbst erklärend!
@teufel: vielen dank, ich habs nur von einer seite versucht und kam nie drauf dass, wenn ich überall (-1) raushebe, da in der mitte ja schon das selbe steht...
nun zu c)
Ich habe es diesesmal auch von beiden seiten versucht, dennoch komm ich auf keinen grünen zweig... Ich bleib einfach hängen, wenn es ums rausheben geht.
also
[mm] \vektor{k+x\\2k+1} [/mm] = [mm] \bruch{(k+x)(k+x-1)...(x+1)}{(2k+1)!}
[/mm]
- [mm] \vektor{k-x\\2k+1} [/mm] = - [mm] \bruch{(k-x)(k-x-1)...(-x+1)}{(2k+1)!}
[/mm]
also ich habe jetzt einfach nur mal in die definition eingesetzt, ich sehe nur nicht, wo ich die (-1) rausheben sollte, da sich dann ja auch das Vorzeichen vom k ändert...
Kann mit noch jemand bei diesem Schritt helfen?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eliza |
Hallo Imbecile!
Die Tatsache, dass bei der c) k durch 2k+1 ersetzt wird, ein einzelnes - als Vorzeichen auftritt und [mm](-1)^{2k+1}=-1[/mm] ist, legt die Vermutung nahe, dass du die b) verwenden kannst, um c) zu zeigen. So etwa:
zu zeigen: [mm]\vektor{k+x\\
2k+1}= -\vektor{k-x\\
2k+1}[/mm]
Fange an mit [mm]-\vektor{k-x\\
2k+1}=-\vektor{-(x-k)\\
2k+1}[/mm]
Setze [mm]\tilde{x}=x-k[/mm] und [mm]\tilde{k}=2k+1[/mm], dann verwende b):
[mm] $\vektor{-\tilde{x}\\ \tilde{k}}=(-1)^{\tilde{k}} \vektor{\tilde{x}+\tilde{k}-1\\ \tilde{k}}$
[/mm]
dann sollte hoffentlich nach ein bisschen Rumgerechne die linke Seite rauskommen!
Grüße Eliza
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> nun zu c)
> Ich habe es diesesmal auch von beiden seiten versucht,
> dennoch komm ich auf keinen grünen zweig... Ich bleib
> einfach hängen, wenn es ums rausheben geht.
Hallo,
nein, Dein Fehler liegt bereits davor - ich möchte das, was Eliza sagt, nochmal etwas verdeutlichen.
Es ist $ [mm] \vektor{\red{y} \\ \blue{k}}:=\bruch{\red{y}(\red{y}-1)...(\red{y}-\blue{k}+1)}{\blue{k}!} [/mm] $ .
Und nun überlege Dir genau, was nach dieser Definition/Bauanleitung
[mm] $\vektor{\red{k+x}\\\blue{2k+1}}$
[/mm]
und
- $ [mm] \vektor{\red{k-x}\\\green{2k+1}} [/mm] $
ist.
Gruß v. Angela
> also
>
> [mm]\vektor{k+x\\
2k+1}[/mm] = [mm]\bruch{(k+x)(k+x-1)...(x+1)}{(2k+1)!}[/mm]
>
> - [mm]\vektor{k-x\\
2k+1}[/mm] = -
> [mm]\bruch{(k-x)(k-x-1)...(-x+1)}{(2k+1)!}[/mm]
>
> also ich habe jetzt einfach nur mal in die definition
> eingesetzt, ich sehe nur nicht, wo ich die (-1) rausheben
> sollte, da sich dann ja auch das Vorzeichen vom k
> ändert...
> Kann mit noch jemand bei diesem Schritt helfen?
>
> Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:16 Do 23.09.2010 | | Autor: | Eliza |
Hallo Angela!
> Und nun überlege Dir genau, was nach dieser
> Definition/Bauanleitung
>
> [mm]\vektor{\red{k+x}\\
\blue{2k+1}}[/mm]
>
> und
>
> - [mm]\vektor{\red{k-x}\\
\green{2k+1}}[/mm]
>
> ist.
Du hast natürlich Recht, dass Imbecile die Definition nicht richtig angewendet hat, das war mir garnicht aufgefallen. Allerdings ist das bei meinem Ansatz (meiner Meinung nach) auch irrelevant, da man die Definition garnicht verwenden muss, sondern direkt über Aufgabenteil b) argumentieren kann. So bleibt einem eben diese verwirrende Überlegung mit dem $2k+1$ erspart!
Grüße Eliza
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