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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:49 Do 27.10.2011 | | Autor: | theresetom |
| Aufgabe | Für welche n
$ [mm] 2^n [/mm] > [mm] n^2$ [/mm] |
A(1) 2> 1 stimmt
A(2) 4>4 stimmt nicht
A(3) 8>9 stimmt nicht
A(4) 16>16 stimmt nicht
A(5) 32 >25 stimmt
n [mm] $\ge$ [/mm] 5
linke Seite A(n+1)
[mm] $2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^n [/mm] *2$
für [mm] $2^n$ [/mm] bewiesen > $ [mm] n^2$
[/mm]
[mm] $2^n [/mm] *2 > [mm] n^2 [/mm] * 2$
Wie komme ich jetzt auf die rechte Seite von A(n+1) [mm] n^2 [/mm] +2n+1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Do 27.10.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
im Forum findest du Antworten auf die Frage.
Siehe z.B. hier.
Vielleicht hilft dir das schon weiter.
Gruß
barsch
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Ah,super.
Kann trotzdem nochmals wer drüberschauen?
$ [mm] 2^n [/mm] * 2 > 2 [mm] n^2$
[/mm]
$ [mm] 2n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2$
[/mm]
$ [mm] 2n^2 [/mm] > [mm] (n^2 [/mm] + 2n +1$
$ [mm] n^2 [/mm] > 2n +1$
seperate Induktion
A(1) 1>3 stimmts nicht
A(2) 4>5 stimmts nicht
A(3) 9>7 stimmts
A(n+1)
[mm] (n+1$)^2 [/mm] > 2(n+1) +1$
[mm] $n^2 [/mm] + 2n + 1 > 2n+3$
Induktionsannahme für [mm] $n^2 [/mm] > 2n+1$
[mm] $n^2 [/mm] + 2n + 1 > 2n + 2n + 1 +1 = 4n + 2$
das ist sicher größer als > 2n +3`bei n größer als 1 was es ja auch ist. (oben)
Darf ich das einfach mal so behaupten oder wie beweise ich das noch mathematisch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Do 27.10.2011 | | Autor: | kiwibox |
Also das erste was hier erstmal zu bemeckern ist, du musst deine Induktion erstmal richtig formal aufgebauen...
Zunächst machst du erstmal einen Induktionsanfang.
Da du nun die Fälle A(1)-A(4) ausgeschlossen hast (siehe deine erste Frage), machst du deinen Induktionsanfang mit n=5, also A(5).
Also schreibt dann: IA (IA für Induktionsanfang): A(5): und zeigt eben das es dann gilt.
Im nächsten Schritt sagst du dann, das dein Induktionsvoraussetzung dann wie folgt lautet: [mm] 2^n [/mm] > [mm] n^2 [/mm] für n >5 (wenn du aufgebene n hast, dann kommt das vor IA)
Und dann fängst du mit dem Induktionsschritt an: Also dann IS: A(n) -> A(n+1):
[mm] 2^{n+1}=2^n [/mm] * 2 > (IV) 2 [mm] n^2> (n^2 [/mm] + 2n [mm] +1)=(n+1)^2
[/mm]
jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass [mm] n^2>2n+1 [/mm] stimmt. Und diese Induktion musst du dann wie die erste aufbauen.
Wenn dies nun die zweite Induktion ist, musst du das schon genau kennzeichnen. Ich kann leider nicht erkennen, was du da tust. Du hast ja dein A(n) nicht umbenannt.
> seperate Induktion
> A(1) 1>3 stimmts nicht
(hier würde ich jedes Mal bei einem Widerspruch einen Blitz hin machen)
> A(2) 4>5 stimmts nicht
> A(3) 9>7 stimmts
>
> A(n+1)
> (n+1[mm])^2 > 2(n+1) +1[/mm]
> [mm]n^2 + 2n + 1 > 2n+3[/mm]
>
> Induktionsannahme für [mm]n^2 > 2n+1[/mm]
>
> [mm]n^2 + 2n + 1 > 2n + 2n + 1 +1 = 4n + 2[/mm]
> das ist sicher
> größer als > 2n +3'bei n größer als 1 was es ja auch
> ist. (oben)
> Darf ich das einfach mal so behaupten oder wie beweise ich
> das noch mathematisch?
Ich bitte dich, schreibe die zweite Induktion ordentlich auf, so steigt keiner durch. Sorry.
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Ich habe einzig und alleine das Formale hier weggelassen
[mm] $n^2 [/mm] > 2n + 1
Induktionsanfang
A(3) 9>7 stimmt
Induktionsvoraussetzung [mm] $n^2 [/mm] > 2n +1$
Induktionsschritt:
A (n+1) [mm] $(n+1)^2 [/mm] > 2(n+1)+1$
[mm] $(n^2 [/mm] + 2n + 1 > 2(n+3$
I.Vorrausetzung $->$
[mm] $(n+1)^2 [/mm] >2n + 1 + 2n + 1 = 4n + 2$
bei n>1 ist 4n + 2 > 2n +3
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Hallo theresetom,
> Ich habe einzig und alleine das Formale hier weggelassen
>
> [mm]$n^2[/mm] > 2n + 1
>
> Induktionsanfang
> A(3) 9>7 stimmt
>
> Induktionsvoraussetzung [mm]n^2 > 2n +1[/mm]
>
> Induktionsschritt:
> A (n+1) [mm](n+1)^2 > 2(n+1)+1[/mm]
> [mm](n^2 + 2n + 1 > 2(n+3[/mm]
>
>
> I.Vorrausetzung [mm]->[/mm]
> [mm](n+1)^2 >2n + 1 + 2n + 1 = 4n + 2[/mm]
> bei n>1 ist 4n + 2 > 2n
> +3
Das verstehe ich nicht. Allerdings ist mir auch nicht klar, wozu Du überhaupt Induktion brauchst.
[mm] n^2>2n+1\quad\gdw\quad n^2-2n-1>0\quad\gdw\quad (n-1)^2-2>0\quad\gdw\quad (n-1)^2>2 \Rightarrow [/mm] n>2.
Grüße
reverend
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Sagt den jeder was anderes?
In den verlinken Post stand man keine eine seperate Induktion machen und den ausdruck somit beweisen
Was verstehst du nicht?
[mm] $n^2 [/mm] > 2n + 1 $
ist zu zeigen
für A(1), A(2) stimmts nicht
> Induktionsanfang
> A(3) 9>7 stimmt
>
> Induktionsvoraussetzung
[mm] $n^2 [/mm] > 2n + 1 $
> Induktionsschritt:
A (n+1)
setze ich statt n . n + 1 ein
$ [mm] (n+1)^2 [/mm] > 2(n+1)+1 $
links steht ein binom, recht ausmultiplizieren
$ [mm] (n^2 [/mm] + 2n + 1 > 2n+3 $
[mm] für$n^2 [/mm] $ hat man es ja schon bewiesen, dass der ausdruck $> 2n + 1 $ ist - also setz ich:
[mm] $n^2 [/mm] + 2n + 1 >2n + 1 + 2n + 1 = 4n + 2 $
und dér ausdruck ist größer als 2n + 3, wenn n größer als 0 ist!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Do 27.10.2011 | | Autor: | kiwibox |
>
> Sagt den jeder was anderes?
> In den verlinken Post stand man keine eine seperate
> Induktion machen und den ausdruck somit beweisen
das liegt einfach daran, in welchen Semester du dich befindest und du das eben als bekannt voraussetzen darfst. Habt ihr das nicht bewiesen und seit ihr erst mit Induktionen angefangen, dann musst du die zweite Induktion schon machen.
ich hoffe, du wirst mit meiner anderen Antwort vielleicht etwas schlauer.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Do 27.10.2011 | | Autor: | kiwibox |
> Ich habe einzig und alleine das Formale hier weggelassen
du weißt aber hoffentlich, wenn du Beweise formal richtig aufschreiben willst, dann kannst du nicht mal einfach was weglassen...
du musst schon sagen, was du hier mit machen willst. Z.b. Beweise per vollständiger Induktion, dass [mm] n^2 [/mm] > 2n+1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 3 gilt.
> [mm]$n^2[/mm] > 2n + 1
(also dann nicht so hinschreiben)
> Induktionsanfang
> A(3) 9>7 stimmt
du musst schon hinter dem A(3) einen Doppelpunkt machen, sonst wird echt nicht klar, was du machst. Es könnte zum Beispiel auch als Multiplikation verstanden werden.
> Induktionsvoraussetzung [mm]n^2 > 2n +1[/mm]
gilt nicht für alle n. Hier musst du noch genauer formulieren.
> Induktionsschritt:
> A (n+1) [mm](n+1)^2 > 2(n+1)+1[/mm]
> [mm](n^2 + 2n + 1 > 2(n+3[/mm]
dein Induktionsschritt stimmt nicht. Du behauptest in der ersten Zeile, was du eigentlich zeigen solltest.
Am besten machst du das dann so:
A(n+1): [mm] (n+1)^2=n^2+2n+1>...wendest [/mm] hier deine Induktionsvoraussetzung an, die du noch nicht definiert hast ...> ...=2(n+1)+1
>
> I.Vorrausetzung [mm]->[/mm]
> [mm](n+1)^2 >2n + 1 + 2n + 1 = 4n + 2[/mm]
> bei n>1 ist 4n + 2 > 2n
> +3
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formal war es nicht ganz richtig angeschrieben (ist auch klar-dass man, das nach den ersten Uni_Wochen noch nicht 100 % beherrscht.
danke
richtig ist es ja trotzdem fast gewesen
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Do 27.10.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> formal war es nicht ganz richtig angeschrieben (ist auch
> klar-dass man, das nach den ersten Uni_Wochen noch nicht
> 100 % beherrscht.
nicht entmutigen lassen. Natürlich braucht man erst einmal etwas Übung bevor alles richtig sitzt.
Ich habe deine weiteren Ausführungen zwar nicht gelesen, aber in den ersten Uni-Wochen wird das von den Tutoren auch nicht allzu streng gesehen.
Vielleicht hilft ja auch mal ein Blick in das Buch "Das ist o.B.d.A. trivial" von Beutelspacher.
> danke
> richtig ist es ja trotzdem fast gewesen
> LG
Gruß
barsch
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