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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [mm] a_n^{n+1}
[/mm]
[mm] a_1 \in [/mm] (0,1/2)
ZuZeigen 0 [mm] \le a_n \le \frac{1}{2} [/mm] |
I.Anfang n=1, 0 [mm] \le a_1 \le \frac{1}{2}
[/mm]
n=2 [mm] a_2 =a_1 [/mm] - 1/2 [mm] a_1^2
[/mm]
[mm] a_2=a_1*(1-1/2 a_1)
[/mm]
da 0 [mm] \le a_1 \le \frac{1}{2}ist [/mm] der rechte Term 3/4 [mm] \le 1-\frac{1}{2} a_1 \le [/mm] 1
-> 0 [mm] \le a_2 \le \frac{1}{2}
[/mm]
I-Annahme 0 [mm] \le a_n \le \frac{1}{2}
[/mm]
ZZ.: 0 [mm] \le a_{n+1} \le \frac{1}{2}
[/mm]
0 [mm] \le a_n [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [mm] a_n^{n+1} \le \frac{1}{2}
[/mm]
Ich schaff es nicht die Annahme in den I.Schritt zu bringen.
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> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_n[/mm] - [mm]\frac{1}{2}[/mm] * [mm]a_n^{n+1}[/mm]
> [mm]a_1 \in[/mm] (0,1/2)
abgeschlossen oder offen?
>
> ZuZeigen 0 [mm]\le a_n \le \frac{1}{2}[/mm]
Hier ist es ja wieder offen
> I.Anfang n=1, 0 [mm]\le a_1 \le \frac{1}{2}[/mm]
Ja nach Aufgabe
>
> n=2 [mm]a_2 =a_1[/mm] - 1/2 [mm]a_1^2[/mm]
> [mm]a_2=a_1*(1-1/2 a_1)[/mm]
> da 0 [mm]\le a_1 \le \frac{1}{2}ist[/mm] der
genauer
[mm]a_2=a_1(1-0.5a_1)<0.5(1-0.5*0)=1/2[/mm]
und
[mm]a_2=a_1(1-0.5a_1)>0*(\ldots)[/mm]
> rechte Term 3/4 [mm]\le 1-\frac{1}{2} a_1 \le[/mm] 1
> -> 0 [mm]\le a_2 \le \frac{1}{2}[/mm]
???
>
> I-Annahme 0 [mm]\le a_n \le \frac{1}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ZZ.: 0 [mm]\le a_{n+1} \le \frac{1}{2}[/mm]
>
> 0 [mm]\le a_n[/mm] - [mm]\frac{1}{2}[/mm] * [mm]a_n^{n+1} \le \frac{1}{2}[/mm]
>
>
> Ich schaff es nicht die Annahme in den I.Schritt zu
> bringen.
Genauso wie bei [mm]n=2\;[/mm]
[mm]a_{n+1}=a_n-0.5a_n^{n+1}=a_n(1-0.5a_n^n)\overbrace{<}^{a_n<0.5}0.5(1-0.5a_n^n)\overbrace{<}^{a_n>0}\ldots[/mm]
Versuch den Ausdruck so groß wie möglich zu machen, indem du [mm] $a_n$ [/mm] nach oben bzw. nach unten durch 1/2 bzw. 0 abschätzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Lu- |
> genauer
$ [mm] a_2=a_1(1-0.5a_1)<0.5(1-0.5\cdot{}0)=1/2 [/mm] $
Warum kann [mm] a_1 [/mm] gleichzeitig in einen Bsp 0 und 0,5 sein? Es muss doch schon zweimal dass gleiche dastehen für [mm] a_1 [/mm] in einen Bsp.
Ich hätte einmal für beide [mm] a_1 [/mm] =0 einmal für beide [mm] a_1 [/mm] =1/2 eingesetzt.
Bei induktionsschluss wäre mich jetzt noch eingefallen
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] * (1-0,5 [mm] a_n^n)
[/mm]
[mm] a_n [/mm] laut Induktionsannahme >0
1- [mm] 0,5*a_n^n [/mm] -> wegen Induktionsannahme > 0
[mm] ->a_n [/mm] * (1-0,5 [mm] a_n^n)=a_{n+1} [/mm] >0
[mm] a_{n+1} [/mm] - 1/2 [mm] =a_n [/mm] -1/2 - 1/2 [mm] a_n^{n+1}
[/mm]
wegen Induktionsannahme [mm] a_n [/mm] -1/2 [mm] \le [/mm] 0
wegen Induktionsannahme 1/2 [mm] a_n^{n+1} [/mm] > 0
neg - pos < 0 -> [mm] a_{n+1} [/mm] - 1/2< 0 <=> [mm] a_{n+1}< [/mm] 1/2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Do 19.01.2012 | | Autor: | chrisno |
Du musst abschätzen, was schlimmstenfalls passieren könnte. Wie groß kann der Ausdruck höchstens werden? Um das durchzuführen setzt Du da, wo mit zunehmendem [mm] $a_n$ [/mm] der Ausdruck größer wird, den größten Wert für [mm] $a_n$ [/mm] ein. An den Stellen, wo mit abnehmendem [mm] $a_n$ [/mm] der Ausdruck größer wird, setzt Du den kleinstmöglichen Wert für [mm] $a_n$ [/mm] ein. Du setzt also nicht einen Wert für [mm] $a_n$ [/mm] ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Do 19.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Achso, okay das wusste ich nicht, dass es so funktioniert.
Vielen dank euch beiden.
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