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| Aufgabe | | Für alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 5 gilt [mm] n^2 [/mm] - 4n > 3. |
Hallo,
bräuchte einen Tipp bei der Aufgabe.
I-Anfang: A(5): [mm] 5^2 [/mm] - 4*5 > 3 = 25-20 > 3 = 5 > 3 ist wahr.
I-Schritt: Sei n [mm] \in \IN [/mm] beliebg:
I-Vorraussetzung: [mm] n^2 [/mm] - 4n > 3
I-Behauptung: [mm] (n+1)^2 [/mm] - 4(n+1) > 3
Es gilt:
[mm] n^2+2n+1-4n-4 [/mm] > 3
[mm] n^2-2n-3 [/mm] > 3 /+3
[mm] n^2-2n [/mm] > 6
da stehe ich dann und weiß nicht weiter.
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Hallo gosejohann,
Du musst die Induktionsvoraussetzung natürlich auch verwenden!
> Für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 5 gilt [mm]n^2[/mm] - 4n > 3.
> Hallo,
>
> bräuchte einen Tipp bei der Aufgabe.
>
> I-Anfang: A(5): [mm]5^2[/mm] - 4*5 > 3 = 25-20 > 3 = 5 > 3 ist
> wahr.
>
> I-Schritt: Sei n [mm]\in \IN[/mm] beliebg:
>
> I-Vorraussetzung: [mm]n^2[/mm] - 4n > 3
> I-Behauptung: [mm](n+1)^2[/mm] - 4(n+1) > 3
>
> Es gilt:
> [mm]n^2+2n+1-4n-4[/mm] > 3
> [mm]n^2-2n-3[/mm] > 3 /+3
> [mm]n^2-2n[/mm] > 6
>
> da stehe ich dann und weiß nicht weiter.
Behauptung: [mm] (n+1)^2-4(n+1)>3
[/mm]
[mm] n^2+2n+1-4n-4>3
[/mm]
Soweit ok. Das ist nun aber der Punkt, wo Du nicht mechanisch zusammenfassen solltest, sonder die IV einbringst.
[mm] \blue{n^2}+2n+1\blue{-4n}-4>\blue{3}
[/mm]
Die blau markierten Teile sind ja gerade die IV. Der Teil der Aussage darf also als gesichert angenommen werden. Dann bleibt:
[mm] $2n+1-4>0\quad\Rightarrow\quad [/mm] 2n>3$
Grüße
reverend
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> Die blau markierten Teile sind ja gerade die IV. Der Teil
> der Aussage darf also als gesichert angenommen werden. Dann
> bleibt:
> [mm]2n+1-4>0\quad\Rightarrow\quad 2n>3[/mm]
warum ">0"? Weil ich die IV komplett herausgezogen habe und damit auf der rechten Seite die 3 auch wegfällt?
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Hallo gosejohann,
> > Die blau markierten Teile sind ja gerade die IV. Der Teil
> > der Aussage darf also als gesichert angenommen werden. Dann
> > bleibt:
> > [mm]2n+1-4>0\quad\Rightarrow\quad 2n>3[/mm]
>
> warum ">0"? Weil ich die IV komplett herausgezogen habe und
> damit auf der rechten Seite die 3 auch wegfällt?
Das ist lediglich Rechnen mit Ungleichungen:
Du hast:
1) [mm]n^2-4n>3[/mm] aus der Induktionsvoraussetzung
2) [mm]n^2+2n+1-4n-4>3[/mm] aus dem, was du im Induktionsschritt für n+1 zeigen sollst.
Subtrahiere mal 1) von 2), rechne also 2)-1)
Was ist dann zu zeigen bzw. worauf läuft die zu zeigende Ungleichung hinaus?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo gosejohann,
>
> Du musst die Induktionsvoraussetzung natürlich auch
> verwenden!
>
> > Für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 5 gilt [mm]n^2[/mm] - 4n > 3.
> > Hallo,
> >
> > bräuchte einen Tipp bei der Aufgabe.
> >
> > I-Anfang: A(5): [mm]5^2[/mm] - 4*5 > 3 = 25-20 > 3 = 5 > 3 ist
> > wahr.
> >
> > I-Schritt: Sei n [mm]\in \IN[/mm] beliebg:
> >
> > I-Vorraussetzung: [mm]n^2[/mm] - 4n > 3
> > I-Behauptung: [mm](n+1)^2[/mm] - 4(n+1) > 3
> >
> > Es gilt:
> > [mm]n^2+2n+1-4n-4[/mm] > 3
> > [mm]n^2-2n-3[/mm] > 3 /+3
> > [mm]n^2-2n[/mm] > 6
> >
> > da stehe ich dann und weiß nicht weiter.
>
> Behauptung: [mm](n+1)^2-4(n+1)>3[/mm]
> [mm]n^2+2n+1-4n-4>3[/mm]
>
> Soweit ok. Das ist nun aber der Punkt, wo Du nicht
> mechanisch zusammenfassen solltest, sonder die IV
> einbringst.
>
> [mm]\blue{n^2}+2n+1\blue{-4n}-4>\blue{3}[/mm]
>
> Die blau markierten Teile sind ja gerade die IV. Der Teil
> der Aussage darf also als gesichert angenommen werden. Dann
> bleibt:
> [mm]2n+1-4>0\quad\Rightarrow\quad 2n>3[/mm]
das ist zwar schön: Unter der Annahme, dass die Induktionsvoraussetzung
gilt, folgt also, dass der Induktionsschritt "so" schonmal zu keinem Widerspruch führt.
Wenn man hier am Ende "nur"
$$2n+1-4 > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 2n > 3$$
schreibt, ist der Beweis des Induktionsschrittes nicht(!!) erbracht.
Warum? Naja, die entscheidende Beweisrichtung fehlt doch:
Aus der Gültigkeit von $2n > [mm] 3\,$ [/mm] sollte man folgern, dass
im Induktionsschritt unter Zuhilfenahme der Induktionsvoraussetzung eben
[mm] $$(n+1)^2-4(n+1)>3$$
[/mm]
gilt.
Das ist übrigens auch der Grund, warum ich als Korrekteur immer an den
Rand geschrieben hatte, dass ich keine tabellarische Ansammlung von
Gleichungen/Ungleichungen sehen will, sondern man erkennen muss,
wie diese in Zusammenhang stehen.
Schreibt jemand:
Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt ja
[mm] $$x^2 \ge [/mm] 9$$
$$x [mm] \ge [/mm] 3$$
Was soll man damit anfangen? Hat sich nun überlegt, dass da tatsächlich
ein
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
zwischen den Ungleichungen stehen darf? Hat er sich überhaupt was
überlegt? Oder einfach mal "nur etwas runtergerechnet"? Dafür gab's bei
mir Punktabzüge!
Und wenn er dann auch tatsächlich
[mm] $$x^2 \ge [/mm] 9 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] 3$$
begründen müßte, ging' ich sogar zu seinem Ungunsten davon aus, dass
er sich nur $x [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \Rightarrow x^2 \ge [/mm] 9$ überlegt hatte - denn ich hab'
an keiner Stelle gelesen, dass er die entscheidende Folgerung begründet
hätte.
P.S. Nur, um mal ein triviales Beispiel hinzuschreiben:
Ich nehme an, dass [mm] $-5=5\,$ [/mm] gilt. Nach obiger Logik dürfte ich das
so begründen:
Aus $-5=5$ folgt ja [mm] $(-5)^2=25=5^2\,.$ [/mm] Das ist eine wahre Aussage.
Gilt nun deshalb [mm] $-5=5\,$? [/mm] Nein, nur, wenn man ANNIMMT, dass
doch [mm] $-5=5\,$ [/mm] WÄRE, dann MÜßTE aber [mm] $(-5)^2=5^2$ [/mm] sein!
P.P.S. Was ich eigentlich hier sagen will: Man überlege sich am besten
mal, wo man "bei diesen Rechnungen ein [mm] "$\gdw$" [/mm] hinschreiben darf".
Zudem überlege man sich an den Stellen, wo man vielleicht erstmal nur
eine der beiden Symbole [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] oder [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] benutzt/
benutzen darf, welche Folgerungsrichtung man an dieser Stelle "braucht",
um den Beweis in sich schlüssig zu vollenden!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 5 gilt [mm]n^2[/mm] - 4n > 3.
das ganze mit Induktion zu machen ist ja schon fast ein Witz - okay, ihr
sollt Induktion üben - aber machen wir es trotzdem mal anders, nur, damit
Du siehst, dass das eigentlich eine leichte Aufgabe ist:
[mm] $$n^2-4n [/mm] > 3 [mm] \gdw (n-2)^2-4 [/mm] > 3 [mm] \gdw (n-2)^2 [/mm] > [mm] 7\,.$$
[/mm]
Daran erkennt man, dass die Ungleichung links genau dann gilt, wenn
das natürliche [mm] $n\,$ [/mm] erfüllt $n-2 [mm] \ge 3\,,$ [/mm] also sie gilt für natürliche [mm] $n\,$
[/mm]
sogar genau für alle $n [mm] \ge 5\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 5 gilt [mm]n^2[/mm] - 4n > 3.
> Hallo,
>
> bräuchte einen Tipp bei der Aufgabe.
>
> I-Anfang: A(5): [mm]5^2[/mm] - 4*5 > 3
> =
da gehört ein [mm] $\gdw$ [/mm] hin! Oder gilt neuerdings [mm] $3=25-20\,$?
[/mm]
> 25-20 > 3
> =
Das gleiche PROBLEM wie oben!
> 5 > 3 ist
> wahr.
Ansonsten ist das okay. (Allerdings scheint Dir der Unterschied zwischen
[mm] $=\,$ [/mm] und [mm] $\gdw$ [/mm] nicht klar zu sein?!)
> I-Schritt: Sei n [mm]\in \IN[/mm]
mit $n [mm] \ge [/mm] 5$ (das ist WICHTIG - Du hast doch den Induktionsanfang
auch nur für ein $n [mm] \ge [/mm] 5$ gemacht - nämlich [mm] $n=5\,$!!) [/mm] aber ansonsten(!!)
> beliebg:
Es gelte für dieses [mm] $n\,$ [/mm] (was [mm] $\ge [/mm] 5$ ist!!) die
> I-Vorraussetzung: [mm]n^2[/mm] - 4n > 3
Zu zeigen ist nun die
> I-Behauptung: [mm](n+1)^2[/mm] - 4(n+1) > 3
Beweis.
Es gilt:
[mm](n+1)^2[/mm] - 4(n+1) > 3
[mm] $$\red{\gdw}$$
[/mm]
> [mm]n^2+2n+1-4n-4[/mm] > 3
[mm] $$\red{\gdw}$$
[/mm]
[mm] $$n^2-4n-3+2n-3 [/mm] > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Hieraus erkennt man, dass man - weil man bei den [mm] $\red{\gdw}$ [/mm] die
Richtung [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] verwenden darf, die Gültigkeit des
Induktionsschrittes bewiesen hat, wenn man
[mm] $$(\*)\;\;\;n^2-4n-3+2n-3 [/mm] > 0$$
begründen kann.
Die Induktionsvoraussetzung ist äquivalent zu [mm] $n^2 [/mm] -4n -3 > [mm] 0\,,$
[/mm]
da die Induktionsvoraussetzung als gültig angenommen wird, gilt
also auch [mm] $n^2 [/mm] -4n -3 > [mm] 0\,.$
[/mm]
Deswegen ist es nun, wenn man [mm] $(\*)$ [/mm] zu begründen hat, hinreichend,
zu zeigen, dass für unser $n [mm] \ge [/mm] 5$ auch $2n-3 [mm] \ge 0\,$ [/mm] gilt. Das ist
aber nicht besonders schwer (das sieht man gleich...)
Und damit das mal ganz klar wird, schreibe ich am Ende nun mal den
Beweis nur mit Folgerungen in einer Richtung auf:
Also:
Beweis des Induktionsschrittes:
Weil unser natürliches [mm] $n\,$ [/mm] auch $n [mm] \ge [/mm] 5$ erfüllt, gilt also insbesondere
$n [mm] \ge 5\,.$
[/mm]
Daher folgt:
Es gilt
$$n [mm] \ge [/mm] 5$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] 2n [mm] \ge [/mm] 10$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] 2n [mm] -3\ge [/mm] 7$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] 2n [mm] -3\ge [/mm] 0$$
[mm] $$\Rightarrow n^2-4n-3+2n-3 \ge n^2-4n-3$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow n^2-4n-3+2n-3 [/mm] > 0 [mm] \text{ wegen der I.V.}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow (n^2+2n+1)-4\;\;-4n-3 [/mm] > 0$$
[mm] $$\Rightarrow (n^2+2n+1)-4\;\;-4n [/mm] > 3$$
[mm] $$\Rightarrow (n+1)^2\;\;-4*(n+1) [/mm] > 3$$
Somit folgt aus $n [mm] \ge [/mm] 5$ und der I.V. in der Tat die im Induktionsschritt
zu beweisende Behauptung!
P.S. Wenn Du in solchen Aufgaben in die Gefahr gerätst, dass Du sowas
- wie dieses $n [mm] \ge [/mm] 5$ mitzunehmen - vergisst (das hast Du hier auch oft
getan), dann gibt es oft eine Alternative, wie etwa hier:
Die obige Aufgabe läßt sich in äquivalenter Weise umformulieren zu:
Zeige, dass [mm] $(k+5)^2-4*(k+5) [/mm] > 3$ für alle $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] gilt. Hier kann
man also eine Induktion über $k [mm] \in \IN_0=\IN \cup \{0\}$ [/mm] führen...
(Oder:
Zeige, dass [mm] $(\ell+4)^2-4*(\ell+4) [/mm] > 3$ für alle [mm] $\ell \in \IN$ [/mm] gilt. Hierbei
ist [mm] $\IN=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] gemeint! Hierbei kann man also eine
Induktion über [mm] $\ell \in \IN$ [/mm] führen...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Mi 07.11.2012 | | Autor: | gosejohann |
[mm] "n\ge5" [/mm] habe ich beim IS vergessen mit zu übertragen, sorry. Der Unterschied zwischen = und [mm] \gdw [/mm] ist mir bewußt, habe es etwas schlampig ins Forum übertragen. Werde versuchen, da besser drauf zu achten.
Danke für deine ausführlichen Anmerkungen und Tipps!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo gosejohann,
das "tut mir leid" war nicht nötig. Es geht ja nur darum, dass Du Dir
bewußt machst, was da "nicht passte". Deswegen musst Du nun nicht
betrübt sein. 
> [mm]"n\ge5"[/mm] habe ich beim IS vergessen mit zu übertragen,
> sorry.
Wenn Du Dir dessen bewußt warst, ist das okay. Mir geht's drum, dass
Du "merkst", dass es da doch ein paar Stellen gibt, wo Du Dinge, die
beachtenswert sind, unterschlagen hast. In einem "sauberen" Beweis
sollte das nicht passieren - Korrekteure müßten Dir dafür eigentlich
Punkte abziehen!
> Der Unterschied zwischen = und [mm]\gdw[/mm] ist mir bewußt,
> habe es etwas schlampig ins Forum übertragen.
Wenn es nur das Problem mit der Verwendung des [mm] "$\gdw$-Zeichens"
[/mm]
war, ist das nicht tragisch. Auch hier gilt: Solange Du Dir absolut bewußt
bist, was Du da (be-)treibst, ist das - für Dich - in Ordnung, aber nichts,
was man so weitergeben sollte - jedenfalls nicht ohne Kommentare.
Und wenn dann da ein Kommentar steht "Ich habe [mm] $=\,$ [/mm] geschrieben und
meine damit [mm] $\gdw$" [/mm] - dann fragt man sich, warum Du nicht einfach direkt
[mm] $\gdw$ [/mm] geschrieben hattest...
> Werde
> versuchen, da besser drauf zu achten.
Das ist auch für Dich wichtig, sonst verstehst Du irgendwann selbst nicht
mehr, was Du da gemacht hast!
> Danke für deine ausführlichen Anmerkungen und Tipps!
Bitte! 
Gruß,
Marcel
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