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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:54 Sa 05.11.2005 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
ich habe mal wieder eine Aufgabe mit der ich einfach nicht weiterkomme:
Beweisen Sie mit dem Binomischen Lehrsatz:
n [mm] \le [/mm] (1 + [mm] \wurzel{ \bruch{2}{n}}) [/mm] ^{k}
so, nun habe ich die rechte seite ein wenig umgeformt(mit dem bino. Lehrsatz):
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} $1^{n}$ [/mm] * [mm] $1^{-k}$ [/mm] * [mm] \wurzel{ \bruch{2}{n}}) [/mm] ^{k}
weiter umgeformt:
[mm] 2^{n} [/mm] * [mm] $\summe_{k=0}^{n}$ (\bruch{2}{n}) [/mm] ^ [mm] $\bruch{k}{2}$
[/mm]
So, meine frage ist, bo das was ich gemacht habe richtig ist,
oder wenn nicht, was für einen Ansatz muss ich wählen.
bin über jede Antwort erfreut.
Vielen Dank schon mal im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich habe mal wieder eine Aufgabe mit der ich einfach nicht
> weiterkomme:
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> Beweisen Sie mit dem Binomischen Lehrsatz:
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> n [mm]\le[/mm] (1 + [mm]\wurzel{ \bruch{2}{n}})[/mm] ^{k}
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> so, nun habe ich die rechte seite ein wenig umgeformt(mit
> dem bino. Lehrsatz):
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}[/mm] [mm]1^{n}[/mm] * [mm]1^{-k}[/mm] *
> [mm]\wurzel{ \bruch{2}{n}})[/mm] ^{k}
Hallo,
das ist leider nicht richtig: bedenke - das was im binomischen Lehrsatz wie er in Büchern gedruckt ist, meist n heißt, heißt bei Dir k. Verstehst Du? Du hast's mit "hoch k" zu tun, nicht mit "hoch n". das bedeutet, daß Du bis k summieren mußt. Und Du darfst k hier nicht als Summationsindex nehmen. Nimm halt i.
Wie heißt die Aufgabe denn genau?
Weil: für n=8 und k=2 stimmt die Ungleichung nämlich nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Sa 05.11.2005 | | Autor: | mushroom |
Hallo, hänge gerade an der selben Aufgabe. Sie lautet aber:
Beweisen sie mit dem Binomischen Lehrsatz: Für alle [mm] n \in \IN [/mm] gilt
[mm] n \le \left( 1+\wurzel{\frac{2}{n}} \right)^{\red{n}} [/mm].
Habe für den Induktionsschritt jetzt folgendes:
[mm] \sum_{k=0}^{n+1} {n+1 \choose k} \wurzel{\frac{2}{n+1}}^k = \left( \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \wurzel{\frac{2}{n}}^k \right) + {n+1 \choose k} \wurzel{\frac{2}{n+1}}^{n+1} [/mm]
Ist die Summe hier korrekt aufgespalten?
Habe mir als einen anderen Ansatz überlegt (ohne vollständige Induktion), daß man die einzelnen Summanden betrachtet und eventuell daraus auf eine Lösung schließen könnte. Bringt solch ein Ansatz was?
Gruß
Markus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Eumel09 |
Hallo,
hab den Beweis ohne induktion gemacht.
( 1+ [mm] \wurzel{2/n} [/mm] ) ^{n}
diese Formel hab ich mithilfe des binomischen lehrsatzes umgeschrieben.
hab dazu die Summanden schreibweise des binomischen lehrsatzes genommen, die so lautet.
[mm] \vektor{n \\ 0} a^{2.5} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] * [mm] a^{n-1} [/mm] * b + [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] * [mm] a^{n-2} [/mm] * [mm] b^{2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ n} [/mm] * [mm] b^{n}
[/mm]
Hab dann die zahlen eingesetzt und nur die ersten drei Summanden betrachtet, da der rest ja auch größer null sein muss.
Mithilfe der Definition von aufgabe 6 übungsblatt 1 kam ich am ende auf folgende Gleichung:
n * [mm] \wurzel{2/n} [/mm] + n [mm] \ge [/mm] n
und das gilt da die wurzel aus einer positiven zahl ja auch eine positive Zahl ergibt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Eumel09 |
die 2,5 muss ein n sein
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Hallo Eumel09,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es würde nat. reichen den ersten und dritten Summanden herzunehmen. Zusammen mit der Behauptung das alle Summanden als Produkt von positiven Zahlen positiv sind. Aber so ist auch schick.
viele Grüße
mathemaduenn
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