volterrasche integralgleichung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:16 Do 08.03.2007 | | Autor: | spektrum |
| Aufgabe | Die Volterrasche Integralgleichung
x(s)- [mm] \integral_{a}^{s}{k(s,t)x(t) dt} [/mm] =y(s)
ist das kontinuierliche Analogon zu dem linearen Gleichungssystem
[mm] x_{s} [/mm] - [mm] \summe_{t=1}^{s}k_{st}x_{t} [/mm] = [mm] y_{s} [/mm] , s=1,...,n |
hallo!
ich hoffe mir kann jemand dabei helfen...
die allererste frage ist: was ist ein KONTINUIERLICHES analogon?
ich sehe ja, dass es im endeffekt das selbe ist, aber wie kann man denn das beweisen?
keine ahnung was ich hier zeigen soll!
vielen dank für jeden tipp!
liebe grüße
spektrum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Do 08.03.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo spektrum!
> Die Volterrasche Integralgleichung
> x(s)- [mm]\integral_{a}^{s}{k(s,t)x(t) dt}[/mm] =y(s)
> ist das kontinuierliche Analogon zu dem linearen
> Gleichungssystem
> [mm]x_{s}[/mm] - [mm]\summe_{t=1}^{s}k_{st}x_{t}[/mm] = [mm]y_{s}[/mm] , s=1,...,n
> hallo!
>
> ich hoffe mir kann jemand dabei helfen...
> die allererste frage ist: was ist ein KONTINUIERLICHES
> analogon?
Wenn du dir die Summe anguckst, siehst du, dass dort für t und s nur diskrete Werte angenommen werden, also im Prinzip nur natürliche Zahlen als Indizes. Wenn du das ganze aber integrierst, werden alle möglichen Werte betrachtet, nicht nur natürliche Zahlen, falls du verstehst, was ich meine. Ich glaube, man kann das mit der Unter- und Obersumme vergleichen, wie man in der Schule meist zum Integral herangeführt wird. Da ist die Unter- und die Obersumme im Prinzip nur die diskrete Näherung, das Integral selbst wäre dann das "kontinuierliche Analogon". 
> ich sehe ja, dass es im endeffekt das selbe ist, aber wie
> kann man denn das beweisen?
Das kann ich dir leider auch nicht sagen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Fr 09.03.2007 | | Autor: | spektrum |
hallo bastiane!
danke für deinen tipp!
so wie dus mir erklärt hast, ists mir ganz klar!
und vielleicht hat ja jemand anderer eine beweisidee!
vielen dank!
lg spektrum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Mi 14.03.2007 | | Autor: | spektrum |
hallo!
jetzt weiß ich was ein kontinuierliches analogon ist, aber weiß noch nicht wie man denn sowas beweist...
kann mit bitte jemand von euch einen tipp dazu geben??
vielen dank!
lg spektrum
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Mi 28.03.2007 | | Autor: | spektrum |
halli hallo!
ich probiers einfach nocheinmal!
zu zeigen ist ja:
> Die Volterrasche Integralgleichung
> x(s)- [mm]\integral_{a}^{s}{k(s,t)x(t) dt}[/mm] =y(s)
> ist das kontinuierliche Analogon zu dem linearen
> Gleichungssystem
> [mm]x_{s}[/mm] - [mm]\summe_{t=1}^{s}k_{st}x_{t}[/mm] = [mm]y_{s}[/mm] , s=1,...,n
was ein kontinuierliches analogon ist, weiß ich in der zwischen zeit schon.
aber gibt es dafür irgendeine beweisidee?
ich bin dankbar für jeden auch noch so kleinen tipp!
danke schon mal!
lg spektrum
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Fr 30.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Steht da wirklich, dass du den Satz beweisen sollst?
dann teil das integral von 0 bis s in n Teile, jedes der Teile kannst du schreiben als [mm] k(s,t_z)*x(t_z)*Intervallaenge,(t_z [/mm] ein Zwischenpunkt) nenne [mm] x(t_z)*Intervallaenge=x_{ts},k_{st} [/mm] entsprechend.
der Weg geht rueckwaerts wie vorwaerts. ich kann mir nicht vorstellen, dass das ne Aufgabe ist? geht der Text nicht weiter und das war nur die Einleitung?
Gruss leduart
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hallo leduart!
nun ja, ich dachte, das soll ich zeigen. (da in dieser aufgabe das wort "zeige" nicht vorkommt, ist das nicht so klar!)
und danach geht die aufgabe sehr wohl weiter
(nämlcih so:
Dieses System hat genau dann für jede rechte seite eine und nur eine lösung, wenn alle [mm] k_{ss}\not= [/mm] 1 sind.
dazu weiß ich bis jetzt auch noch keinen lösungsansatz...)
vielleicht hast du ja recht, und ich muss das nicht zeigen...
das muss ich noch einmal nachfragen!
vielen dank aber trotzdem für deine hilfe und deine erklärungen!
lg spektrum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Di 24.04.2007 | | Autor: | spektrum |
halli hallo!
bin schon wieder bei dieser aufgabe!
> Dieses System hat genau dann für jede rechte seite eine
> und nur eine lösung, wenn alle [mm]k_{ss}\not=[/mm] 1 sind.
habe mir folgendende gedanken dazu gemacht:
wäre [mm] k_{ss} [/mm] =1, dann wäre [mm] y_{s}=0 [/mm] fü alle s [mm] \in [/mm] [a,b]
dann habe ich sozusagen ein homogenes Gleichungssystem, oder?
für dieses hätte ich ja dann mehr als eine lösung, oder?
aber wie komme ich drauf, dass es genau eine lösung gibt, wenn [mm] k_{ss}\not= [/mm] 1 ??
ich verstehe es einfach nicht!
noch einmal vielen vielen dank für hinweise!
lg spektrum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Di 24.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach Theorie der lin. Gleichungssysteme, wenn dus vergessen hast, guck in Wiki nach
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Mi 25.04.2007 | | Autor: | spektrum |
halli hallo!
habe jetzt versucht mein wissen über lin. alg. wieder auszugraben, und komme zu dem schluss:
wären die [mm] k_{ss}=1, [/mm] dann wäre (zumindest für mich) das einzige Problem, wenn s=1.
dann ist nämlich [mm] x_{1}-k_{11}x_{1}=y_{1}
[/mm]
und somit wäre [mm] 0=y_{1}
[/mm]
[mm] y_{1} [/mm] ist aber nicht unbedingt 0. also wäre das ein widerspruch
für die anderen s, weiß ich nicht, wo hier ein problem liegt.
z.B. für s=2 gilt: [mm] -k_{21}x_{1}=y_{2}
[/mm]
und das kann ja erfüllt sein.
ich blicke hier einfach nicht ganz durch, warum denn ALLE [mm] k_{ss} \not= [/mm] 1 sein müssen....
bitte um hilfe! ich steh hier einfach auf der leitung!
danke schon mal!
lg spektrum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Mi 25.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du mal die Matrix skizziert? es ist ne Dreiecksmatrix, auf der Diagonalen [mm] 1-k_{ss} [/mm] rechts nur Nullen.
> wären die [mm]k_{ss}=1,[/mm] dann wäre (zumindest für mich) das
> einzige Problem, wenn s=1.
>
> dann ist nämlich [mm]x_{1}-k_{11}x_{1}=y_{1}[/mm]
> und somit wäre [mm]0=y_{1}[/mm]
>
> [mm]y_{1}[/mm] ist aber nicht unbedingt 0. also wäre das ein
> widerspruch
>
> für die anderen s, weiß ich nicht, wo hier ein problem
> liegt.
>
> z.B. für s=2 gilt: [mm]-k_{21}x_{1}=y_{2}[/mm]
[mm] k_{21} [/mm] x1 [mm] +(1-k_{22})x2=y_2 [/mm]
> und das kann ja erfüllt sein.
Nicht wenn in der Zeile drüber [mm] x1=y1/(1-k_{11})
[/mm]
mit [mm] k_{11}\ne [/mm] 0 steht!
oder mach per vollst. ind so weiter wie ich hier für x2 argumentiert habe. in der nächsten Zeile kennst du dann wenn die ersten 2 k ungleich 1 sind x1 und x2 schon und was folgt dann?...
Gruss leduart
Also sieh die Det des Gl. systems an!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Do 26.04.2007 | | Autor: | spektrum |
hallo leduart!
vielen, vielen dank für deine hilfe!
aber jetzt hab auch ich es kapiert.
da hatte ich wohl ein brett vor dem kopf!
danke!
lg spektrum
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