wahrscheinlichkeiten < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Do 23.03.2006 | | Autor: | Lara102 |
| Aufgabe | der fürst der toskana (als mitglied der damals würfelnden oberschicht) hatte bei nächtelangem würfeln den verdacht geschöpft, dass bei dreimaligem würfeln die augensumme 10 öfter erscheint als die augensumme 9. gleichzeitig wusste er aber, dass beide summen auf jeweils sechs arten in summanden zerlegt werden können:
10=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4
9= 1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3
er bat GALILEI (!) um klärung dieses "widerspruchs". was hätten sie dem fürsten untertänigst erläutert? |
hallo.. das ist eine aufgabe die wir rechnen und abgeben sollen. ich bitte um hilfe ^^
also... mein zwei einzigen vorschläge zu dieser aufgabe sind:
ich denke es war zufall da die wahrscheinlichkeit je [mm] \bruch{1}{6} [/mm] beträgt
oder der würfel ist gezinkt
...findet dafür vll irgendwer außer galilei eine lösung?!?!?
mfg lara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Do 23.03.2006 | | Autor: | metzga |
So gleich zur Lösung.
damit jeder Wurf mit der WK [mm]\bruch{1}{6}[/mm] gezählt muss man den Wurf genauer anschauen, denn du kannst z.B 1,3,6 auf folgende Würfe bekommen:
1. (1,3,6) 3. (3,1,6) 5. (6,1,3)
2. (1,6,3) 4. (3,6,1) 6. (6,3,1)
also 3! Möglichkeiten.
Jeder der Würfe ist gleich wahrscheinlich also mit [mm]\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}=\bruch{1}{216}[/mm].
also ist die WK 10 mit den Zahlen 1,3,6 gleich [mm]6*\bruch{1}{216}=\bruch{1}{36}[/mm].
Aber jetzt gilt für den Wurf 2,2,6
1. (2,2,6) 2. (2,6,2) 3. (6,2,2)
also [mm]\bruch{3!}{2!}[/mm] Möglichkeiten.
Somit ist die Wk 10 mit den Zahlen 2,2,6 zu bekommen gleich [mm]3*\bruch{1}{216}=\bruch{1}{72}[/mm].
So jetzt mal ne Tabelle:
für die neun für die zehn
Zahlen WK Zahlen WK
[mm]1+2+6\qquad\bruch{6}{216}\qquad\qquad \qquad \qquad 1+3+6\qquad \bruch{6}{216}[/mm]
[mm]1+3+5\qquad\bruch{6}{216}\qquad\qquad \qquad \qquad 1+4+5\qquad \bruch{6}{216}[/mm]
[mm]1+4+4\qquad\bruch{3}{216}\qquad \qquad \qquad \qquad 2+2+6\qquad \bruch{3}{216}[/mm]
[mm]2+2+5\qquad\bruch{3}{216}\qquad \qquad \qquad \qquad 2+3+5\qquad \bruch{6}{216}[/mm]
[mm]2+3+4\qquad\bruch{6}{216}\qquad \qquad \qquad \qquad 2+4+4\qquad \bruch{3}{216}[/mm]
[mm]3+3+3\qquad\bruch{1}{216}\qquad \qquad \qquad \qquad 3+3+4\qquad \bruch{3}{216}[/mm]
wenn man die WKs nun addiert folgt:
P("Augesumme 9")[mm]=\bruch{25}{216}[/mm]
P("Augesumme 10")[mm]=\bruch{27}{216}[/mm]
=>P("Augesumme 10")>P("Augesumme 9")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Do 23.03.2006 | | Autor: | Lara102 |
nachdem du diese möglichen würfe aufgezählt hast für den fall 1,3,6 steht da dann dass es 3 möglichkeiten gibt,
aber du hast 6 verschiedene ergebnisse aufgezählt. also wie kommen jetzt die 3 möglichkeiten und somit [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6} [/mm] zusatnde???
mfg lara
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Hallo,
> nachdem du diese möglichen würfe aufgezählt hast für den
> fall 1,3,6 steht da dann dass es 3 möglichkeiten gibt,
> aber du hast 6 verschiedene ergebnisse aufgezählt. also
> wie kommen jetzt die 3 möglichkeiten und somit
> [mm]\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}[/mm] zusatnde???
>
> mfg lara
da steht nicht 3 Möglichkeiten, sondern 3! (in Worten: 3 Fakultät). Das bedeutet das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner gleich 3 ist gemeint. Also [mm]1*2*3=6[/mm]. Man kann also das Tripel 1,2,3 in 6 Varianten kombinieren. Dieses [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6} [/mm] hat mehr mit der Wahrscheinlichkeit pro Wurf zu tun. Mit 1/6 Wahrscheinlichkeit wird pro Wurf eine dieser Zahlen gewürfelt (Laplace)!
Lies dir die Antwort noch mal genau durch!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Do 23.03.2006 | | Autor: | Lara102 |
ooh ich versteh des nicht.... könnte man nich einfach 6 möglichkeiten schreiben?? und was haben die trippel 1,2,3 mit den zahlen 1,3,6 zu tun?!?!?
mfg
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Hallo Lara,
das war nur ein Beispiel. Ich hätte auch 1.3.6 schreiben können, hatte das aber schon wieder vergessen!
VG Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Do 23.03.2006 | | Autor: | Lara102 |
hm...wenn man dann also statt die zahlen von der (1,2,3) die richtigen zahlen einsetzt müsste da dann statt 1*2*3=6 also 1*3*6=18 stehen?
stimmt des so?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Do 23.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi,
nein,nein,nein. Die 1*2*3 kommt nicht von den Zahlentripeln (1,2,3), sondern von der Anzahl der Möglichkeiten so ein Zahlentripel anzuordnen. Z.B bei (1,3,6):
Auf wieviele mögliche Plätze kannst du die 1 verteilen? auf 3 (weil 3 Würfel am Anfang "frei" sind)
Auf wieviele mögliche Plätze kannst du dann die 3 verteilen? auf 2 (weil 1 Würfel schon mit der 1 belegt ist.)
Auf wieviele mögliche Plätze kannst du dann noch die 6 verteilen? auf 1 (weil 2 Würfel schon belegt sind)
insgesamt also 3*2*1=6 Möglichkeiten. Das schreibt man abkürzend 3! (ist nur ne Schreibweise)
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Do 23.03.2006 | | Autor: | Lara102 |
kann mir jemand das vielleicht mal genauer erklären? ich blick bei den rechnungen nämlich nicht durch.
du kannst z.B 1,3,6 auf
> folgende Würfe bekommen:
> 1. (1,3,6) 3. (3,1,6) 5. (6,1,3)
> 2. (1,6,3) 4. (3,6,1) 6. (6,3,1)
> also 3! Möglichkeiten.
> Jeder der Würfe ist gleich wahrscheinlich also mit
> [mm]\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}=\bruch{1}{216}[/mm].
> also ist die WK 10 mit den Zahlen 1,3,6 gleich
> [mm]6*\bruch{1}{216}=\bruch{1}{36}[/mm].
> Aber jetzt gilt für den Wurf 2,2,6
> 1. (2,2,6) 2. (2,6,2) 3. (6,2,2)
> also [mm]\bruch{3!}{2!}[/mm] Möglichkeiten.
> Somit ist die Wk 10 mit den Zahlen 2,2,6 zu bekommen
> gleich [mm]3*\bruch{1}{216}=\bruch{1}{72}[/mm].
[mm]6*\bruch{1}{216}=\bruch{1}{36}[/mm]. wieso werden hier zb die brüche mit 6 multipliziert ??
[mm]\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}=\bruch{1}{216}[/mm]. oder hier 1/6 nur drei mal mit sich selbst??
mfg
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Hallo Lara,
wie oben bereits beschrieben sind es 6 Möglichkeiten ein bel. Tripel zu würfeln, allein durch die Reihenfolge der auftretenden Zahlen. Und nun werden einfach die Pfadregeln verwendet.
Die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zu würfeln:
[mm] \bruch{1}{6}.
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit drei Zahlen zu würfeln:
[mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}.
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit drei Zahlen zu würfeln unter Beachtung der Reihenfolge der Zahlen:
[mm] 6*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}, [/mm] da sechs Kombinationsmöglichkeiten.
Und jetzt noch die andere Antwort beachten!
VG Daniel
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