wahrscheinlichkeitstheoretisch < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Di 24.06.2008 | | Autor: | dala |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=319997
hallo liebe mathefreunde,
ich habe mal eine frage zu og. thema:
wir schreiben demnächst eine klausur und mir fehlt komplett die struktur um ein stochastisches modell aufzustellen.
das problem ist, das unser prof. selber auch unterschiedliche bezeichnungen, reihenfolgen und definitionen macht ( das vermitteln einer vernünftigen vorgehensweise ist scheinbar nicht seine stärke).
es geht mir hier nicht um berechnungen, die sind kein problem; es geht hier wirklich um die formale, korrekte mathematische darstellung.
kann mir evtl jemand einen "roten faden" an die hand geben, an dem ich mich orientieren kann.
ist die vorgehensweise immer die gleiche, oder gibt es unterschiede?
bsp für eine aufgabe:
eine münze wird 3x geworfen. entwickeln sie ein stochastisches modell für dieses zufallsexperiment. stellen sie in diesem zusammenhang das ereignis "1. und 3. wurf stimmen überein" formal dar.
bin für jede hilfestellung dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 Mi 25.06.2008 | | Autor: | goujou |
Also, wenn es um derartige Aufgaben geht, dann kommst du um eines nicht herum: den Wahrscheinlichkeitsraum. Das ist ein Tripel [mm](\Omega,A,P)[/mm], wobei [mm]\Omega[/mm] eine Menge ist, A ist eine zugehörige Sigma-Algebra und P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
[mm]\Omega[/mm] enthält die Elementarereignisse [mm]\omega[/mm], A ist eine Menge von Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] und enthält somit alle möglichen Ereignisse (ist [mm]\Omega[/mm] endlich, so nimmt man für A meist die Potenzmenge von [mm]\Omega[/mm], P ist ein W.-Maß, das jeder Menge aus A einen Wert zw. 0 und 1 zuweist ([mm]P(\Omega)=1, P(\emptyset)=0)[/mm]. Das ist das grundlegende Modell, das es aufzustellen gilt.
Kommen wir zu deinem Beispiel, dem 3-maligen Münzwurf. K steht für Kopf und Z für Zahl. Bei einem Wurf erhältst du ein Ergebnis aus {K,Z}, beim 3-maligen Werfen also ein Ergebnis aus [mm]\{K,Z\}\times\{K,Z\}\times\{K,Z\}=\{K,Z\}^3[/mm].
Also gilt [mm]\Omega=\{K,Z\}^3[/mm]. Ein Elementarereignis ist also das Ergebnis eines 3-maligen Wurfes, z.B. (K,K,Z), was bedeutet, dass der erste Wurf Kopf ergab, der zweite auch und der dritte Zahl. Es gibt hier 2*2*2=8 Elemtarereignisse. Da alle gleich wahrscheinlich sind, gilt [mm]P(\omega)=1/8[/mm] für alle [mm]\omega\in\Omega[/mm].
Für die Sigma-Algebra A wählen wir die Potenzmenge von [mm]\Omega[/mm], A enthält somit alle möglichen Ereignisse (nicht nur Elementarereignisse!), die man bei einem 3-maligen Wurf betrachten kann.
Wir bezeichnen jetzt mit B das Ereignis (das ist eine Menge von Elementarereignissen), dass der erste und der dritte Wurf das gleiche Ergebnis hatten. B besteht also aus allen Elemtarereignissen, bei denen die erste und dritte Stelle gleich sind.
B={(KKK),(KZK),(ZZZ),(ZKZ)}
Also gilt [mm]P(B)=P(\{(KKK),(KZK),(ZZZ),(ZKZ)\})=
4/8=1/2[/mm].
Wenn es bei so einer Aufgabe darum geht, ein Modell aufzustellen, dann heißt das, einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum aufzustellen. Dabei muss man genau angeben, wie [mm] $\Omega$ [/mm] aussieht, wie A aussieht (wie gesagt, bei endlichem [mm] $\Omega$ [/mm] nimmt man für gewöhnlich dessen Potenzmenge), und man muss festlegen, wie P aussieht. Falls [mm] $\Omega$ [/mm] endlich ist, genügt es hierbei, P für die Elementarereignisse [mm] $\omega$ [/mm] festzulegen, da sich der Rest einfach ergibt, denn die Elementarereignisse [mm] $\{\omega\}$ [/mm] sind disjunkt und für ein Ereignis [mm] $B=\{\{\omega_1\},\ldots,\{\omega_n\}\}$ [/mm] gilt demnach
[mm] $P(B)=P(\{\omega_1\})+\ldots +P(\{\omega_n\})$.
[/mm]
Ich hoffe, ich konnte einige Unklarheiten beseitigen, ohne zuviel neue zu erschaffen. Ist ja auch schon recht spät...
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