was hab ich falsch gemacht? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Lovella |
| Aufgabe | aaaalso: ich will zeigen, wo [mm] \IR \backslash\{0\}\to\IR, f(x)=x\cdot\left\lfloor \bruch{1}{x}\right\rfloor [/mm]
unstetig ist. |
also die funktion hat im schaubild für alle [mm] x_k=\pm\bruch{1}{k} [/mm] mit [mm] k\in \IN [/mm] ein sprung. An diesen stellen ist der funktionswert jeweils 1.
Meine idee war jetzt, dass ich eine folge finde, die gegen [mm] x_0=\bruch{1}{k} [/mm] bzw. [mm] x_0=-\bruch{1}{k} [/mm] konvergiert. Die funktionswerte sollen allerdings nicht gegen [mm] f(x_0) [/mm] konvergieren.
Ich habe diese gewählt: [mm] (a_n)=\left(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{n}\right)\to \bruch{1}{k} [/mm] für [mm] n\to \infty.
[/mm]
Dann gilt: [mm] f(a_n)=\left(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{n}\right)\cdot\left\lfloor \bruch{1}{\left(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{n}\right)}\right\rfloor \to \bruch{1}{k}\cdot\left\lfloor \bruch{1}{\bruch{1}{k}}\right\rfloor [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}\cdot\left\lfloor k\right\rfloor [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} \cdot{k}=1
[/mm]
aber jetzt stimmen funktionswert und folgen-funktionwert überein!
was hab ich falsch gemacht?
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Hallo Lovella,
> aaaalso: ich will zeigen, wo [mm]\IR \backslash\{0\}\to\IR, f(x)=x\cdot\left\lfloor \bruch{1}{x}\right\rfloor[/mm]
> unstetig ist.
> also die funktion hat im schaubild für alle
> [mm]x_k=\pm\bruch{1}{k}[/mm] mit [mm]k\in \IN[/mm] ein sprung. An diesen
> stellen ist der funktionswert jeweils 1.
>
> Meine idee war jetzt, dass ich eine folge finde, die gegen
> [mm]x_0=\bruch{1}{k}[/mm] bzw. [mm]x_0=-\bruch{1}{k}[/mm] konvergiert. Die
> funktionswerte sollen allerdings nicht gegen [mm]f(x_0)[/mm] konvergieren.
>
> Ich habe diese gewählt:
> [mm](a_n)=\left(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{n}\right)\to \bruch{1}{k}[/mm]
> für [mm]n\to \infty.[/mm]
Wähle besser [mm] (a_n)=\left(\bruch{1}{k}+\bruch{1}{n}\right).
[/mm]
Dann gilt für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
[mm] f(a_n)=\left(\bruch{1}{k}+\bruch{1}{n}\right) \left\lfloor\frac{1}{1/k+1/n} \right\rfloor=\left(\bruch{1}{k}+\bruch{1}{n}\right) \left\lfloor\underbrace{\frac{kn}{n+k}}_{
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Lovella |
danke kamaleonti!
ich hab dazu leider 2 fragen (tut mir leid): [mm] \left(\bruch{1}{k}+\bruch{1}{n}\right) \left\lfloor\underbrace{\frac{kn}{n+k}}_{
1. woher siehst du, dass dieser term in der gaußklammer <k ist?
2. warum darfst du daraus eine ungleichung machen? ist es dann nicht klar, dass es am ende passt, wenn man es verändert?
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> danke kamaleonti!
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> ich hab dazu leider 2 fragen (tut mir leid):
> [mm]\left(\bruch{1}{k}+\bruch{1}{n}\right) \left\lfloor\underbrace{\frac{kn}{n+k}}_{
>
> 1. woher siehst du, dass dieser term in der gaußklammer <k ist?
Es ist [mm] \frac{kn}{n+k}<\frac{kn}{n}=k, [/mm] denn [mm] 0
>
> 2. warum darfst du daraus eine ungleichung machen? ist es
> dann nicht klar, dass es am ende passt, wenn man es verändert?
Wegen [mm] \frac{kn}{n+k}
[mm] \left\lfloor \frac{kn}{n+k}\right\rfloor\leq [/mm] k-1.
Diese Abschätzung gilt für alle [mm] n\in\IN [/mm] und bleibt daher im Grenzübergang erhalten.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Lovella |
ich hab das leider immer noch nicht so ganz verinnerlicht, im abschätzen bin ich sowieso eine niete...
kann ich vllt auch so argumentieren: Sei [mm] \varepsilon<0 [/mm] mit [mm] \varepsilon<<<1 [/mm] gegeben.
Dann ist [mm] f\left(\bruch{1}{k-\varepsilon}+\bruch{1}{n}\right) [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{k-\varepsilon}+\bruch{1}{n}\right)\cdot\left\lfloor \bruch{1}{\left(\bruch{1}{k-\varepsilon}+\bruch{1}{n}\right)} \right\rfloor \to \bruch{1}{k-\varepsilon}\cdot\left\lfloor \bruch{1}{\bruch{1}{k-\varepsilon}} \right\rfloor (n\to\infty) [/mm] = [mm] \bruch{1}{k-\varepsilon}\cdot\left\lfloor k-\varepsilon \right\rfloor [/mm] = [mm] \bruch{1}{k-\varepsilon}\cdot(k-1) [/mm] = [mm] \bruch{k-1}{k-\varepsilon} \to \bruch{k-1}{k} (\varepsilon\to0)\not=1
[/mm]
???
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> ich hab das leider immer noch nicht so ganz verinnerlicht,
> im abschätzen bin ich sowieso eine niete...
>
> kann ich vllt auch so argumentieren: Sei [mm]\varepsilon<0[/mm] mit
> [mm]\varepsilon<<<1[/mm] gegeben.
>
> Dann ist
> [mm]f\left(\bruch{1}{k-\varepsilon}+\bruch{1}{n}\right)[/mm] = [mm]\left(\bruch{1}{k-\varepsilon}+\bruch{1}{n}\right)\cdot\left\lfloor \bruch{1}{\left(\bruch{1}{k-\varepsilon}+\bruch{1}{n}\right)} \right\rfloor \to \bruch{1}{k-\varepsilon}\cdot\left\lfloor \bruch{1}{\bruch{1}{k-\varepsilon}} \right\rfloor (n\to\infty)[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{k-\varepsilon}\cdot\left\lfloor k-\varepsilon \right\rfloor[/mm] = [mm]\bruch{1}{k-\varepsilon}\cdot(k-1)[/mm] = [mm]\bruch{k-1}{k-\varepsilon} \to \bruch{k-1}{k} (\varepsilon\to0)\not=1[/mm]
Dieses [mm] \varepsilon [/mm] bringt hier nichts. Der Fehler, den du sicherlich noch machst, ist anzunehmen, dass
[mm] \left\lfloor \bruch{1}{\left(\bruch{1}{k}+\bruch{1}{n}\right)} \right\rfloor\to\left\lfloor \bruch{1}{\bruch{1}{k}} \right\rfloor
[/mm]
für [mm] n\to\infty [/mm] ist. Das stimmt aber nicht, denn das was links unter der Gaußklammer steht, ist immer kleiner als k (wie oben gezeigt). Damit kann im Grenzwert nicht plötzlich [mm] \left\lfloor 1/(1/k)\right\rfloor=k [/mm] rauskommen.
LG
>
>
> ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> aaaalso: ich will zeigen, wo [mm]\IR \backslash\{0\}\to\IR, f(x)=x\cdot\left\lfloor \bruch{1}{x}\right\rfloor[/mm]
> unstetig ist.
bzgl. der Aufgabe kannst Du Dich auch
hier [mm] ($\leftarrow$ klick it!)
informieren.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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