wechselwirkende Teilchen < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mo 10.09.2012 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | | Wie im allgemeinen sieht ein Zustand des ww-Mehrteilchensystems aus? Wie sieht eine Basis solches Systems aus? |
Im allgemeinen Hamiltonian des wechselwirkenden (ww) Mehr(N-)teilchensystems lässt sich schreiben als:
[mm] H=\summe_{i=1}^{N}H_{i}+\frac{1}{2}\summe_{i,j}^{N}U(i,j)
[/mm]
wobei [mm] H_{i} [/mm] sind Hamiltonien für entsprechende Einteilchensysteme.
Ich habe irgendwo gelesen, dass im allgemienen ein Zustand solches Systems sieht folgendermassen aus:
[mm] \phi [/mm] = [mm] \summe_{i,j}^{N}c_{ij}\phi_{i}\mu_{j}
[/mm]
wobei [mm] \phi, \mu [/mm] sind Zustände für entsprechende Einteilchensysteme.
Im algemienen ist das also keinen Produktzustand, sondern Linearkombination von solchen Zuständen, was Wechselwirkung wiederspiegelt soll.
Basis, wenn ich mich nicht irre, soll aus allen möglichen Produktzuständen bestehen, also [mm] {\phi_{i}\mu_{j}}.
[/mm]
Das alles scheint für mich aber nicht sehr erfahrungsnah sein. Die Annahme, dass es Linearkombinationen von Produktzuständen zu verwenden reicht, scheint für mich "zu einfach" sein. Wie begrundet man, dass das reicht?
Zb. bei zwei ww Elektronen im Kasten Linearkombinationen von Produktzuständen würden einfach bedeuten, dass Elektron 1 sich im Zustand befindet, den es auch annehmen könnte, wenn es sich allein in diesem Kasten befinden würde. Ich würde erwarten, dass die Anwesenheit von zweiten Elektron die mögliche Zustände des 1.Elektrons ändern würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mo 10.09.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wie im allgemeinen sieht ein Zustand des
> ww-Mehrteilchensystems aus? Wie sieht eine Basis solches
> Systems aus?
> Im allgemeinen Hamiltonian des wechselwirkenden (ww)
> Mehr(N-)teilchensystems lässt sich schreiben als:
>
> [mm]H=\summe_{i=1}^{N}H_{i}+\frac{1}{2}\summe_{i,j}^{N}U(i,j)[/mm]
>
> wobei [mm]H_{i}[/mm] sind Hamiltonien für entsprechende
> Einteilchensysteme.
Ja, unter der (durchaus plausiblen) Annahme, dass die Wechselwirkung nur durch ein Potential zwischen je zwei Teilchen beschrieben wird.
> Ich habe irgendwo gelesen, dass im allgemienen ein Zustand
> solches Systems sieht folgendermassen aus:
>
> [mm]\phi[/mm] = [mm]\summe_{i,j}^{N}c_{ij}\phi_{i}\mu_{j}[/mm]
>
> wobei [mm]\phi, \mu[/mm] sind Zustände für entsprechende
> Einteilchensysteme.
>
> Im algemienen ist das also keinen Produktzustand, sondern
> Linearkombination von solchen Zuständen, was
> Wechselwirkung wiederspiegelt soll.
>
> Basis, wenn ich mich nicht irre, soll aus allen möglichen
> Produktzuständen bestehen, also [mm]{\phi_{i}\mu_{j}}.[/mm]
Nicht ganz. Erstmal ist das nur richtig für zwei Teilchen,
Wenn du N Teilchen hast, dann ist der Hilbertraum der N-Teilchenzustände das Produkt der Hilberträume der Einteilchenzustände.
Nehmen wir an, für das Teilchen mit der Nummer i [mm] ($i=1,\dots,N$) [/mm] haben wir eine Basis von Einteilchenzuständen [mm] \phi^{(i)}_k$. [/mm] Das heisst also, alle diese Zustände sind Lösungen der Schrödingergleichung mit Hamiltonoperator [mm] $H_{i}$. [/mm] Wenn wir zunächst ein Mehrteilchensystem ohne gegenseitige Wechselwirkung anschauen, also mit Hamiltonoperator
[mm] H=\summe_{i=1}^{N}H_{i} [/mm] ,
dann ist jedes Produkt von solchen Einteilchenwellenfunktionen:
(*) [mm] \phi^{(1)}_{k_1}*\phi^{(2)}_{k_2}*\dots*\phi^{(N)}_{k_N} [/mm]
eine Lösung.
Alle diese Lösungen zusammen bilden aber eine Basis, das heisst, jede beliebige Mehrteilchenwellenfunktion lässt sich als (endliche oder unendliche) Linearkombination von Wellenfunktionen der Form (*) schreiben, und daher auch ein Zustand zu deinem Hamiltonoperator
[mm]H=\summe_{i=1}^{N}H_{i}+\frac{1}{2}\summe_{i,j}^{N}U(i,j)[/mm] .
> Das alles scheint für mich aber nicht sehr erfahrungsnah
> sein. Die Annahme, dass es Linearkombinationen von
> Produktzuständen zu verwenden reicht, scheint für mich
> "zu einfach" sein. Wie begrundet man, dass das reicht?
Über die Vollständigkeit der Basis. Das ist natürlich ein sehr abstraktes Argument. Bedenke aber, dass die "Summe" über alle möglichen Produktzustände in der Regel ein Integral bedeutet, weil die Indizes [mm] $k_1,\dots,k_n$ [/mm] keine diskreten sondern kontinuierliche Werte annehmen.
Vielleicht hilft dir dieses Beispiel: ein Elektron ist sicher keine ebene Welle, denn die hat feste Wellenzahl und ist räumlich unendlich. Aber: ein Elektron wird sehr gut durch ein scharf begrenztes Wellenpaket beschrieben; und das ist eine unendliche Linearkombination ebener Wellen (nämlich ein Integral über alle möglichen Werte der Wellenzahl k).
> Zb. bei zwei ww Elektronen im Kasten Linearkombinationen
> von Produktzuständen würden einfach bedeuten, dass
> Elektron 1 sich im Zustand befindet, den es auch annehmen
> könnte, wenn es sich allein in diesem Kasten befinden
> würde. Ich würde erwarten, dass die Anwesenheit von
> zweiten Elektron die mögliche Zustände des 1.Elektrons
> ändern würde.
Oh, das tut es auch. Auch hier würde man wieder von einfachen Produktzuständen (ohne Wechselwirkung) ausgehen und über alle integrieren.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:59 Di 11.09.2012 | | Autor: | waruna |
> Hallo!
>
> > Wie im allgemeinen sieht ein Zustand des
> > ww-Mehrteilchensystems aus? Wie sieht eine Basis solches
> > Systems aus?
> > Im allgemeinen Hamiltonian des wechselwirkenden (ww)
> > Mehr(N-)teilchensystems lässt sich schreiben als:
> >
> > [mm]H=\summe_{i=1}^{N}H_{i}+\frac{1}{2}\summe_{i,j}^{N}U(i,j)[/mm]
> >
> > wobei [mm]H_{i}[/mm] sind Hamiltonien für entsprechende
> > Einteilchensysteme.
>
> Ja, unter der (durchaus plausiblen) Annahme, dass die
> Wechselwirkung nur durch ein Potential zwischen je zwei
> Teilchen beschrieben wird.
>
> > Ich habe irgendwo gelesen, dass im allgemienen ein Zustand
> > solches Systems sieht folgendermassen aus:
> >
> > [mm]\phi[/mm] = [mm]\summe_{i,j}^{N}c_{ij}\phi_{i}\mu_{j}[/mm]
> >
> > wobei [mm]\phi, \mu[/mm] sind Zustände für entsprechende
> > Einteilchensysteme.
> >
> > Im algemienen ist das also keinen Produktzustand,
> sondern
> > Linearkombination von solchen Zuständen, was
> > Wechselwirkung wiederspiegelt soll.
> >
> > Basis, wenn ich mich nicht irre, soll aus allen möglichen
> > Produktzuständen bestehen, also [mm]{\phi_{i}\mu_{j}}.[/mm]
>
> Nicht ganz. Erstmal ist das nur richtig für zwei
> Teilchen,
>
> Wenn du N Teilchen hast, dann ist der Hilbertraum der
> N-Teilchenzustände das Produkt der Hilberträume der
> Einteilchenzustände.
>
> Nehmen wir an, für das Teilchen mit der Nummer i
> [mm]($i=1,\dots,N$)[/mm] haben wir eine Basis von
> Einteilchenzuständen [mm]\phi^{(i)}_k$.[/mm] Das heisst also, alle
> diese Zustände sind Lösungen der Schrödingergleichung
> mit Hamiltonoperator [mm]$H_{i}$.[/mm] Wenn wir zunächst ein
> Mehrteilchensystem ohne gegenseitige Wechselwirkung
> anschauen, also mit Hamiltonoperator
>
> [mm]H=\summe_{i=1}^{N}H_{i}[/mm] ,
>
> dann ist jedes Produkt von solchen
> Einteilchenwellenfunktionen:
>
> (*)
> [mm]\phi^{(1)}_{k_1}*\phi^{(2)}_{k_2}*\dots*\phi^{(N)}_{k_N}[/mm]
>
> eine Lösung.
>
> Alle diese Lösungen zusammen bilden aber eine Basis, das
> heisst, jede beliebige Mehrteilchenwellenfunktion lässt
> sich als (endliche oder unendliche) Linearkombination von
> Wellenfunktionen der Form (*) schreiben, und daher auch ein
> Zustand zu deinem Hamiltonoperator
>
> [mm]H=\summe_{i=1}^{N}H_{i}+\frac{1}{2}\summe_{i,j}^{N}U(i,j)[/mm]
> .
Na ja, du hast aber Basis für Hamiltonian
[mm]H=\summe_{i=1}^{N}H_{i}[/mm]
angegeben, warum verallgemeinerst du diese Basis auf den Raum des ww-Hamiltonians? WW-Hamiltonian sieht ganz anders aus, hat Terme die in nicht-ww-Hamiltonian überhaupt nicht auftretten, ich verstehe also nicht warum sollte das so einfach gehen :(
> > Das alles scheint für mich aber nicht sehr erfahrungsnah
> > sein. Die Annahme, dass es Linearkombinationen von
> > Produktzuständen zu verwenden reicht, scheint für mich
> > "zu einfach" sein. Wie begrundet man, dass das reicht?
>
> Über die Vollständigkeit der Basis. Das ist natürlich
> ein sehr abstraktes Argument. Bedenke aber, dass die
> "Summe" über alle möglichen Produktzustände in der Regel
> ein Integral bedeutet, weil die Indizes [mm]k_1,\dots,k_n[/mm] keine
> diskreten sondern kontinuierliche Werte annehmen.
>
> Vielleicht hilft dir dieses Beispiel: ein Elektron ist
> sicher keine ebene Welle, denn die hat feste Wellenzahl und
> ist räumlich unendlich. Aber: ein Elektron wird sehr gut
> durch ein scharf begrenztes Wellenpaket beschrieben; und
> das ist eine unendliche Linearkombination ebener Wellen
> (nämlich ein Integral über alle möglichen Werte der
> Wellenzahl k).
>
> > Zb. bei zwei ww Elektronen im Kasten Linearkombinationen
> > von Produktzuständen würden einfach bedeuten, dass
> > Elektron 1 sich im Zustand befindet, den es auch annehmen
> > könnte, wenn es sich allein in diesem Kasten befinden
> > würde. Ich würde erwarten, dass die Anwesenheit von
> > zweiten Elektron die mögliche Zustände des 1.Elektrons
> > ändern würde.
>
> Oh, das tut es auch. Auch hier würde man wieder von
> einfachen Produktzuständen (ohne Wechselwirkung) ausgehen
> und über alle integrieren.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Vielen Dank für Antwort!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:31 Mi 12.09.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Na ja, du hast aber Basis für Hamiltonian
>
> [mm]H=\summe_{i=1}^{N}H_{i}[/mm]
>
> angegeben, warum verallgemeinerst du diese Basis auf den
> Raum des ww-Hamiltonians? WW-Hamiltonian sieht ganz anders
> aus, hat Terme die in nicht-ww-Hamiltonian überhaupt nicht
> auftretten, ich verstehe also nicht warum sollte das so
> einfach gehen :(
Das sind zwei verschiedene Dinge: nämlich die Basis des Hilbertraums und die Lösungsmenge der Schrödingergleichung. (Das habe ich nicht klar unterschieden.)
Es ist tatsächlich nicht sehr anschaulich.
Erstmal ein praktisches Argument: Jede Wellenfunktion lässt sich als Fouriertransformierte schreiben, und das kannst du auffassen als Linearkombination von ebenen Wellen. Da hast du genau das, was dich verwirrt: die ebenen Wellen sind die Lösungen der Schrödingergleichung ohne Wechselwirkung, aber jede beliebige Wellenfunktion - also auch die mit Wechselwirkung - lässt sich als Linearkombination davon schreiben.
Formal geht die Begründung so:
Zunächst einmal ist der Hilbertraum, dessen Elemente die Wellenfunktionen sind, nicht vom Hamiltonoperator abhängig. Egal wie der Hamiltonoperator aussieht, es ist derselbe Hilbertraum [mm] $L^2_\IC(\IR^{3N})$, [/mm] der Raum der komplexwertigen quadratintegrablen Funktionen von 3N Variablen (da jedes Teilchen 3 Raumkoordianten hat). Wenn du eine Basis dieses Hilbertraums hast, dann kannst du jede Wellenfunktion als Linearkombination der Basiselemente darstellen.
Damit ist die Frage letzten Endes diese: wenn ich alle Lösungen der Schrödingergleichung zum Hamiltonoperator
[mm]H=\summe_{i=1}^{N}H_{i}[/mm]
nehme, bilden diese Lösungen eine vollständige Basis?
Die (einfache) Antwort ist: die Eigenfunktionen jedes hermiteschen Operators bilden eine vollständige Basis. Daher bilden alle Lösungen des freien N-Teilchen-Problems auch eine Basis für die Lösungen des WW-N-Teilchen-Problems.
(Diese Aussagen mathematisch exakt zu formulieren und zu beweisen, ist mit ziemlichem Aufwand verbunden. Es hängt ganz wesentlich daran, dass die Zahl der Freiheitsgrade (3N) endlich ist und der zugehörige Hilbertraum separabel.)
Viele Grüße
Rainer
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