wegzusammenhängend->zusammenh. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
z.z: jeder wegzusammenhängender metrischer Raum ist zusammenhängend.
Dazu gibt es einen Lösungsvorschlag ![[]](/images/popup.gif) CAS02.pdf, H1(c) und "hints for solution" zu H1(c).
Ich habe zum Lösungsvorschlag folgende Frage:
Dort wird die Funktion f definiert, die bezüglich der trivialen Metrik stetig ist.
D.h aber nicht , dass diese bezüglich jeder Metrik stetig ist, oder?
Vielleicht wird dort o.B.d.A (!) triviale Metrik genommen ?Warum kann man dann mit o.B.d.A argumentieren, ist mir nicht klar.
Gruss
Igor
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Mi 04.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Igor!
> z.z: jeder wegzusammenhängender metrischer Raum ist
> zusammenhängend.
> Dazu gibt es einen Lösungsvorschlag
> CAS02.pdf, H1(c) und "hints for solution" zu H1(c).
>
> Ich habe zum Lösungsvorschlag folgende Frage:
> Dort wird die Funktion f definiert, die bezüglich der
> trivialen Metrik stetig ist.
Genau.
> D.h aber nicht , dass diese bezüglich jeder Metrik stetig
> ist, oder?
Sie ist bezueglich jeder Metrik auf [mm] $\{ 0, 1 \}$ [/mm] stetig, da jede Metrik auf [mm] $\{ 0, 1 \}$ [/mm] die diskrete Topologie induziert.
> Vielleicht wird dort o.B.d.A (!) triviale Metrik genommen
> ?Warum kann man dann mit o.B.d.A argumentieren, ist mir
> nicht klar.
Es wird einfach irgendeine Metrik genommen, z.B. die triviale Metrik. Welche ist voellig egal.
Es kommt darauf an, welche Mengen in [mm] $\{ 0, 1 \}$ [/mm] offen sind: das sind naemlich alle (es gibt ja eh nur vier Teilmengen). Egal welche Metrik du nimmst.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Felix,
Danke Dir für die Antwort!
Wenn wir schon hier über Metriken sprechen,
möchte ich Fragen dazu stellen (die Fragen haben keinen direkten Zusammenhang zur Hauptfrage) :
1) Bei offenen Mengen ist es nicht egal, welche Metrik man betrachtet, oder?
Ich meine damit: wenn eine Menge bezüglich einer Metrik offen ist, muss nicht sein, dass diese Menge bezüglich einer anderen Metrik offen ist.
2) Bei der Stetigkeit kommt es auch auf die Metrik an, wenn eine Funktion f beliebig ist?
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Felix,
>
> Danke Dir für die Antwort!
>
> Wenn wir schon hier über Metriken sprechen,
> möchte ich Fragen dazu stellen (die Fragen haben keinen
> direkten Zusammenhang zur Hauptfrage) :
>
> 1) Bei offenen Mengen ist es nicht egal, welche Metrik man
> betrachtet, oder?
Richtig, egal ist das nicht
> Ich meine damit: wenn eine Menge bezüglich einer Metrik
> offen ist, muss nicht sein, dass diese Menge bezüglich
> einer anderen Metrik offen ist.
Richtig.
>
> 2) Bei der Stetigkeit kommt es auch auf die Metrik an, wenn
> eine Funktion f beliebig ist?
Ja
FRED
>
>
>
> Gruss
> Igor
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe in Wikipedia nachgeschaut , was die dikrete Topologie bedeutet.
Dort steht:
"Es sei X eine Menge. Dann ist die diskrete Topologie auf X die Topologie, in der alle Mengen offen sind."
Mir ist nun unklar, was der Unterschied zwischen der Topologie und der diskreten Topologie ist,
denn in jeder Topologie sind alle Mengen offen.
Ist die Definition in Wikipedia richtig?
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
> ich habe in Wikipedia nachgeschaut , was die dikrete
> Topologie bedeutet.
> Dort steht:
> "Es sei X eine Menge. Dann ist die diskrete Topologie auf
> X die Topologie, in der alle Mengen offen sind."
>
> Mir ist nun unklar, was der Unterschied zwischen der
> Topologie und der diskreten Topologie ist,
> denn in jeder Topologie sind alle Mengen offen.
>
> Ist die Definition in Wikipedia richtig?
Nein.
Gemeint ist wohl, daß bei einer diskreten Topologie jede Teilmenge der Grundmenge offen ist.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
in CAS02.pdf,H1(d) und "hints for solution" zu H1(d)(auf englisch)
ist mir beim Lösungsvorschlag folgendes unklar:
Dort steht, dass aus S nicht offen die Existenz einer Teilmenge C von X mit A=S [mm] \cup [/mm] C und S [mm] \cap C=\emptyset [/mm] folgt.
Mir ist nicht klar , warum die Implikation gilt.
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mi 04.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Igor,
> in
> CAS02.pdf,H1(d) und "hints for solution" zu H1(d)(auf englisch)
>
> ist mir beim Lösungsvorschlag folgendes unklar:
> Dort steht, dass aus S nicht offen die Existenz einer
> Teilmenge C von X mit A=S [mm]\cup[/mm] C und S [mm]\cap C=\emptyset[/mm]
> folgt.
> Mir ist nicht klar , warum die Implikation gilt.
nun, $S$ ist eine nicht offene Menge, $S [mm] \subseteq [/mm] A$ und $A$ ist eine offene Menge. Damit kann nicht $S = A$ sein. Setze $C := A [mm] \setminus [/mm] S$. Dann gilt $A = S [mm] \cup [/mm] C$ und $S [mm] \cap [/mm] C = [mm] \emptyset$.
[/mm]
(Es reicht, dass $S [mm] \subseteq [/mm] A$ ist. Aus $S$ nicht offen folgt nur $C [mm] \neq \emptyset$.)
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Felix,
> Moin Igor,
>
> > in
> >
> CAS02.pdf,H1(d) und "hints for solution" zu H1(d)(auf englisch)
>
> >
> > ist mir beim Lösungsvorschlag folgendes unklar:
> > Dort steht, dass aus S nicht offen die Existenz einer
> > Teilmenge C von X mit A=S [mm]\cup[/mm] C und S [mm]\cap C=\emptyset[/mm]
> > folgt.
> > Mir ist nicht klar , warum die Implikation gilt.
>
> nun, [mm]S[/mm] ist eine nicht offene Menge, [mm]S \subseteq A[/mm] und [mm]A[/mm] ist
> eine offene Menge. Damit kann nicht [mm]S = A[/mm] sein. Setze [mm]C := A \setminus S[/mm].
> Dann gilt [mm]A = S \cup C[/mm] und [mm]S \cap C = \emptyset[/mm].
>
> (Es reicht, dass [mm]S \subseteq A[/mm] ist. Aus [mm]S[/mm] nicht offen folgt
> nur [mm]C \neq \emptyset[/mm].)
ich habe echt den Eindruck, dass da in der "Musterlösung" geschlampt [mm] ($\leftarrow$: das Wort war doch zu stark; sagen wir: ein bisschen "geschludert") wird. Denn warum schreiben die nicht einfach:
Da $S\,$ nicht offen ist, erfüllt die Menge $C:=A \setminus S \not= \emptyset$ (letzteres gilt, da $A\,$ nicht offen und $S \subseteq A$ ist)
$$S \cap C=\emptyset \;\;\; \text{ und }\;\,\;S \cup C=A\,.$$
Natürlich soll man mitdenken, aber selbst dann hätten sie irgendwo in Klammern schreiben können (man betrachte $C:=A \setminus S$). Auch, wenn das $C\,$ hier wirklich greifbar naheliegend war: Man muss es nicht irgendwie umschreiben, sondern kann das doch einfach und schnell auf den Punkt bringen... ich finde, die "Musterlösungen"dort haben teilweise einen "unschönen" Stil. (Was keine direkte Kritik am Ersteller/an der Erstellerin dieser Lösungen sein soll, denn natürlich sind wir alle nur Menschen, und manchmal in Zeitnot und haben dann Gedanken, die wir "komplizierter" formulieren als nötig. Aber vielleicht kann man das nachträglich bearbeiten... sofern man den Ersteller/die Erstellerin der Lösungen diesbezüglich ansprechen kann. Denn ich bin mir sicher: Nicht nur Igor wird wegen dieser kleinen Formulierung (wie ich finde: unnötig) Zeit investiert haben.)
Naja, nur meine Meinung...
Gruß,
Marcel
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Marcel,
ich stimme dir völlig zu. Die Musterlösung ist nicht einfach geschrieben.
Ich habe eigentlich schon mitgedacht, welche Teilmenge C von X in Frage käme und ich habe auch C:= A/S nach einwenig Zeitinvestition betrachtet.
Da ich mir nicht wirklich sicher war, ob dieser Ansatz richtig war (ich habe ihn wirklich kurz (aber nicht sehr kurz) betrachtet), habe ich dann die Frage gepostet. Manchmal betrachtet man vielleicht den richtigen Ansatz, aber man macht irgendwo in der Betrachtung einen Gedankenfehler und dann soll man entweder von vorne dasselbe nochmal betrachten (was natürlich Zeit kostet)
oder nachfragen.
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Do 05.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo
1)Warum wird im Lösungsvorschlag gefolgert, dass A=X ist?
2)Wofür wurde im Lösungsvorschlag die Funktion g definiert ?
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Sa 07.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Igor,
> 1)Warum wird im Lösungsvorschlag gefolgert, dass A=X ist?
> 2)Wofür wurde im Lösungsvorschlag die Funktion g
> definiert ?
Sei $c [mm] \in [/mm] C$ fest und sei $x [mm] \in \Gamma$ [/mm] beliebig. Dann ist $g [mm] \circ \gamma [/mm] : [0, 1] [mm] \to \{ 0, 1 \}$ [/mm] stetig, womit $g [mm] \circ \gamma$ [/mm] konstant sein muss und somit $g(c) = g(x)$ gilt.
Da $x$ beliebig war folgt dass $g$ konstant ist: damit gilt entweder $A = X$ oder $A = [mm] \emptyset$. [/mm] Wegen [mm] $\emptyset \neq [/mm] S [mm] \subseteq [/mm] A$ folgt $A = X$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > ich habe in Wikipedia nachgeschaut , was die dikrete
> > Topologie bedeutet.
> > Dort steht:
> > "Es sei X eine Menge. Dann ist die diskrete Topologie
> auf
> > X die Topologie, in der alle Mengen offen sind."
> >
> > Mir ist nun unklar, was der Unterschied zwischen der
> > Topologie und der diskreten Topologie ist,
> > denn in jeder Topologie sind alle Mengen offen.
das ist richtig. Denn so definiert man ja gerade den Begriff: Für eine Menge [mm] $X\,$ [/mm] mit einer Familie [mm] $\tau$ [/mm] (die Topologie) von Teilmengen von [mm] $X\,$ [/mm] heißt das Paar [mm] $(X,\tau)$ [/mm] topologischer Raum, falls die leere Menge und [mm] $X\,$ [/mm] beide in [mm] $\tau$ [/mm] liegen, endliche Schnitte von Elementen aus [mm] $\tau$ [/mm] wieder in [mm] $\tau$ [/mm] liegen und beliebige Vereinigungen von Elementen aus [mm] $\tau$ [/mm] wieder Elemente aus [mm] $\tau$ [/mm] sind. Falls klar ist, welche Topologie [mm] $\tau$ [/mm] auf [mm] $X\,$ [/mm] gemeint ist, spricht man auch einfach von dem topologischen Raum [mm] $X\,.$
[/mm]
Ist [mm] $(X,\tau)$ [/mm] ein topologischer Raum, so heißen (genau) die Elemente aus [mm] $\tau$ [/mm] offen (oder offen in [mm] $X\,,$ [/mm] oder [mm] $(X,\tau)$-offen [/mm] oder oder oder...)
> > Ist die Definition in Wikipedia richtig?
>
> Nein.
Doch, auch wenn der zitierte Satz "eigentlich falsch oder missverständlich ist", aber: Danach steht ganz klar, was damit gemeint ist, nämlich dass [mm] $X\,$ [/mm] als Topologie die Potenzmenge trägt! (Insbesondere steht im ersten Satz dort auch, dass in der diskreten Topologie alle Punkte isoliert sind. Was folgt daraus mit den Axiomen des topol. Raumes?)
> Gemeint ist wohl, daß bei einer diskreten Topologie jede
> Teilmenge der Grundmenge offen ist.
Genau das ist gemeint. Sie ist auch die "feinste Topologie", mit der man eine Menge ausstatten kann!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Marcel,
wenn man den zweiten Satz (in Wikipedia) betrachtet, dann steht am Anfang "D.h.". Ich verstehe dieses "D.h" eigentlich als :
der erste Satz bedeutet ...
"D.h" bedeutet normalerweise äquivalente Umformulierung eines Satzes zuvor.
Im ersten Satz steht meiner Meinung nach keine Definition der diskreten Topologie.Denn ich sehe dann aus dem Satz keinen Unterschied zwischen einer Topologie und der diskreten Topologie .
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Igor,
> Hallo Marcel,
>
> wenn man den zweiten Satz (in Wikipedia) betrachtet, dann
> steht am Anfang "D.h.". Ich verstehe dieses "D.h"
> eigentlich als :
> der erste Satz bedeutet ...
> "D.h" bedeutet normalerweise äquivalente Umformulierung
> eines Satzes zuvor.
so ist das in mathematischen Texten jedenfalls durchaus gebräuchlich!
> Im ersten Satz steht meiner Meinung nach keine Definition
> der diskreten Topologie.Denn ich sehe dann aus dem Satz
> keinen Unterschied zwischen einer Topologie und der
> diskreten Topologie .
Ich stimme Dir nach wie vor zu, dass dieser Satz da so nicht stehen sollte (und ich wollte ihn ändern, aber das hat eh schon jemand getan, wie ich währenddessen gesehen habe  ).
Aber ich sag's mal so: Da kurz danach ein Satz steht, der wirklich einen Unterschied aufzeigt (grob zitiert: "... [mm] $X\,$ [/mm] trägt als Topologie die Potenzmenge..."), wäre es doch naheliegend gewesen, zu vermuten, dass im ersten Satz einfach ein Formulierungsfehler vorliegt. Naja, ich gebe zu: Hier liegt im Prinzip eine Sache ähnlich vor wie bei Deinen Musterlösungen. Der Unterschied ist nur: Bei Wikipedia wird dann doch an mehreren Stellen klar, dass "alle Mengen" (oder so ähnlich steht/stand's ja da in Wikipedia) wirklich "alle Teilmengen von [mm] $X\,$" [/mm] bedeutet. Aber es ist definitiv gut und wichtig, dass Dir dieser "Formulierungslapsus" dort aufgefallen ist. Jmd., der zum Beispiel da reinguckt und nur mal gerade diesen Satz liest und dann auch nicht weiterliest, wird dadurch eben in die Irre geführt. Und das will ja kein Mathematiker - andere durch "schlechte/falsche Formulierungen" veräppeln, verwirren oder in die Irre führen
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
.
