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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Do 13.08.2009 | | Autor: | pittster |
| Aufgabe | A: Für einen endlichdimensionalen Vektorraum V definieren wir
$h(V) := [mm] sup\{n \in\mathbb{N}:$es gibt eine Kette$ V_0 \subset V1 \subset ... V_{n-1} \subset V_n $ von Unterkektorräumen $V_i \subset V\}$
[/mm]
Zeigen sie h(V)= dim V
B: Wieviele Elemente hat ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper? |
A: Für V sei [mm] $(v_i)_{1\le i \le n}$ [/mm] eine Basis, also [mm] $span(v_i)=V$. [/mm] Nachdem man einen Vektoren entfernt (z.B den letzten sodass die Familie [mm] $(v_i)_{1\le i \le n-1}$ [/mm] sei), spannt sie einen Untervektorraum der Dimension n-1 auf. Dieser Schritt lässt sich wiederholen, bist man einen Untervektorraum der Dimension 1 erzeugt hat (alle Basisvektoren bis auf [mm] $v_1$ [/mm] wurden entfernt). Zuletzt lässt sich dieser nocht entfernen um {0} = [mm] span($\emptyset$) [/mm] zu erhalten. So erhält man aus V mit der Dimension n [mm] $V_i$ [/mm] Untervektorräume mit [mm] $0\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$, [mm] ($V_0=\{0\}$ [/mm] und [mm] $V_n [/mm] = V$).
B: Sei n die Anzahl der Köper-Elemente und d die Dimension des Vektorraums.
Sei also [mm] $e_d$ [/mm] die Anzahl der Elemente des VR der Dimension d.
Für [mm] $e_0=1$ [/mm] weil die leere Basis den VR {0} aufspannt und [mm] $e_1=n$ [/mm] weil es für einen Basisvektor n Skalare gibt. Bei d+1 kommt ein weiterer Basisvektor hinzu und es existieren [mm] $e_{d+1}=e_d*n$ [/mm] Elemente. Daraus ergibt sich, dass der Vektorraum [mm] $n^d$ [/mm] Elemente besitzt.
Ist das soweit richtig?
lg, Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Do 13.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> A: Für einen endlichdimensionalen Vektorraum V definieren
> wir
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> [mm]h(V) := sup\{n \in\mathbb{N}:[/mm]es gibt eine Kette[mm] V_0 \subset V1 \subset ... V_{n-1} \subset V_n[/mm]
> von Unterkektorräumen [mm]V_i \subset V\}[/mm]
>
> Zeigen sie h(V)= dim V
>
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> B: Wieviele Elemente hat ein endlichdimensionaler
> Vektorraum über einem endlichen Körper?
>
> A: Für V sei [mm](v_i)_{1\le i \le n}[/mm] eine Basis, also
> [mm]span(v_i)=V[/mm]. Nachdem man einen Vektoren entfernt (z.B den
> letzten sodass die Familie [mm](v_i)_{1\le i \le n-1}[/mm] sei),
> spannt sie einen Untervektorraum der Dimension n-1 auf.
> Dieser Schritt lässt sich wiederholen, bist man einen
> Untervektorraum der Dimension 1 erzeugt hat (alle
> Basisvektoren bis auf [mm]v_1[/mm] wurden entfernt). Zuletzt lässt
> sich dieser nocht entfernen um {0} = span([mm]\emptyset[/mm]) zu
> erhalten. So erhält man aus V mit der Dimension n [mm]V_i[/mm]
> Untervektorräume mit [mm]0\le i \le n[/mm], ([mm]V_0=\{0\}[/mm] und [mm]V_n = V[/mm]).
Damit hast du gezeigt, dass $h(V) [mm] \ge \dim [/mm] V$ ist. Jetzt musst du noch zeigen, dass jede aufsteigende Kette hoechstens $n + 1$ Glieder besitzt. Benutze z.B. den Basisfortsetzungssatz.
> B: Sei n die Anzahl der Köper-Elemente und d die Dimension
> des Vektorraums.
> Sei also [mm]e_d[/mm] die Anzahl der Elemente des VR der Dimension
> d.
>
> Für [mm]e_0=1[/mm] weil die leere Basis den VR {0} aufspannt und
> [mm]e_1=n[/mm] weil es für einen Basisvektor n Skalare gibt. Bei
> d+1 kommt ein weiterer Basisvektor hinzu und es existieren
> [mm]e_{d+1}=e_d*n[/mm] Elemente. Daraus ergibt sich, dass der
> Vektorraum [mm]n^d[/mm] Elemente besitzt.
Ja. Oder auch anders: $V [mm] \cong K^{\dim V}$, [/mm] und [mm] $K^{\dim V}$ [/mm] hat [mm] $n^{\dim V}$ [/mm] Elemente.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Do 13.08.2009 | | Autor: | pittster |
Nennt man den Basisfortsetzungssatz manchmal auch Basisergänzungssatz?
Dann sollte ich wohl anfügen:
Jede Familie [mm] $(v_i)_{1\le i \le n+1}$ [/mm] mit [mm] $v_{n+1}=w$ [/mm] ist linear abhängig weil [mm] (v_i)_{1\le i \le n} [/mm] bereits eine Basis ist und [mm] $w\in span((v_i)_{1\le i \le n})$. [/mm] Demnach ist [mm] $span((v_i)_{1\le i \le n+1}) [/mm] = [mm] span((v_i)_{1\le i \le n}) [/mm] = V$ und h(V) unmöglich größer als dim V.
Reicht das aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Do 13.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Nennt man den Basisfortsetzungssatz manchmal auch
> Basisergänzungssatz?
Ja, tut man.
> Dann sollte ich wohl anfügen:
>
> Jede Familie [mm](v_i)_{1\le i \le n+1}[/mm] mit [mm]v_{n+1}=w[/mm] ist
> linear abhängig
...falls $n = [mm] \dim [/mm] V$...
> weil [mm](v_i)_{1\le i \le n}[/mm] bereits eine
> Basis ist
Das muss nicht sein. Z.B. koennte [mm] $v_i [/mm] = 0$ sein fuer alle $i$; dann ist [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] bestimmt keine Basis.
> und [mm]w\in span((v_i)_{1\le i \le n})[/mm]. Demnach ist
> [mm]span((v_i)_{1\le i \le n+1}) = span((v_i)_{1\le i \le n}) = V[/mm]
> und h(V) unmöglich größer als dim V.
>
> Reicht das aus?
Nein. Das ist noch nicht richtig aufgeschrieben so.
Fang doch mal so an: du hast eine Kette der Laenge $n$, also [mm] $U_0 \subsetneqq U_1 \subsetneqq \dots \subsetneqq U_n$. [/mm] Zeige, das dann [mm] $\dim [/mm] V [mm] \ge [/mm] n$ ist, indem du aus der Kette $n$ linear unabhaengige Vektoren bastelst. (Nimm etwa [mm] $v_i \in U_i \setminus U_{i-1}$, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$. Warum ist das ein linear unabhaengiges System?)
LG Felix
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