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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:13 So 24.02.2008 | | Autor: | noobo2 |
| Aufgabe | 11 a) untersuche das Schaubild von f mit
f(x) = [mm] \bruch{1}{48}(80-24x²+x^{4})
[/mm]
auf Symmetrie, NUllstellen, Extrempunkte und Wendestellen.
b) Rür welche reellen Zahlen c hat die Gleichung [mm] x^{4}-24x²+80=48c [/mm] vier (drei, zwei, keine) Lösung ? Verwende dabei Teilaufgabe a).
c) Die Wendetangenten und die Tangenten des Schaubilds in den Extrempunkten bilden ein Trapez. Berechne den Flächeninhalt A dieses Trapezes. |
also ich hab die Aufgabe gelöst aber wir haben sie aber in der Schule nicht besprochen und ich wollte deshalb wissen ob meine Lösungen richtig sind.
(außer der a, deshalb fang ich jetzt bei b an)
b)
2 Nullstellen bei
c= 1,6666 oder c< 1,604
3 Nullstellen bei
c=1,666
keine Nullstelle bei
c> 1,666
4 Nullstellen bei
c<1,666 aber gleichzeitig größer 1,604
c)
Wendetangenten:
[mm] y=-\bruch{4}{3}x+\bruch{8}{4}
[/mm]
[mm] y=\bruch{4}{3}x+\bruch{8}{4}
[/mm]
Extrempunkttangenten:
[mm] y=-\bruch{4}{3} [/mm] ( an zwei Punkten)
[mm] y=\bruch{80}{48}
[/mm]
Schnittpunkt von [mm] y=-\bruch{4}{3}x+\bruch{8}{4} [/mm] und [mm] y=\bruch{-4}{3}
[/mm]
= x=3-> die a Seite des Trapez ist 2*3=6 LE
Errechnung c Seite:
Schnittpunkt von y= [mm] \bruch{-4}{3} [/mm] und [mm] y=\bruch{80}{48} [/mm] = x= [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{4}*2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = c -Seite
FLächeninhalt Trapez [mm] \bruch{a+c}{2}*h= \bruch{6+(3/2)}{2}*h
[/mm]
Höhe= Wert vom Extrempunkt [mm] (-\bruch{4}{3}) [/mm] bis hin zu Hochpunkt [mm] (+\bruch{80}{48}) [/mm] = 3= [mm] \bruch{6+(3/2)}{2}*3= [/mm] 11,25 FE
ist das denn richtig??
und ich hätte noch ne Frage und zwar wenn bei der Berechnung einer Wendestelle auch die dritte Ableitung gleich Null ist dann ist es ja keine Wendestelle, aber gibt es dann ne feste Regel wie man diesen Punkt ohne das Schaubild zu kennen bestimmen kann?? denn eigentlich ist es doch so wenn ein Punkt in der dritten Ableitugn gleich Null ist und in der zweiten auch, dann müsste in der ersten Ableitung an diesem Puntk doch ein Sattelpunkt vorliegen, tut er jedoch nur wenn dei erste Ableitung einen ungeraden Exponent hat. Und was ist wenn gar die dritte, zweite und erste Ableitung an ein und derselben stelle = null sind??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 So 24.02.2008 | | Autor: | Primat |
Moinsen!
Zu Teil b)
Rür welche reellen Zahlen c hat die Gleichung [mm] x^{4}-24x²+80=48c [/mm] vier (drei, zwei, keine) Lösung ?
[mm] x^{4}-24x²+80=48c \gdw \bruch{1}{48}x^{4}- \bruch{1}{2}x²+ \bruch{5}{3}=c
[/mm]
In Teil a sind die Extrempunkte berechnet worden.
Tiefpunkte [mm] (\pm 2\wurzel{3} [/mm] | - [mm] \bruch{4}{3});
[/mm]
Hochbunkt (0 | [mm] \bruch{5}{3})
[/mm]
- [mm] \bruch{4}{3} [/mm] ist absolutes Minimum von f, für c< - [mm] \bruch{4}{3} [/mm] hat die Gleichung also keine Lösung in [mm] \IR.
[/mm]
Für c=- [mm] \bruch{4}{3} [/mm] hat die Gleichung zwei Lösungen (nämlich x= [mm] \pm 2\wurzel{3} [/mm] )
Für den Bereich zwischen TP und HP gibt es 4 Lösungen, also - [mm] \bruch{4}{3} [/mm] < c < [mm] \bruch{5}{3}
[/mm]
In der Höhe des HP, also c= [mm] \bruch{5}{3} [/mm] gibt es drei Lösungen (nämlich x= [mm] \pm 3\wurzel{6} [/mm] und x= 0)
Für den Bereich oberhalb des HP, c > [mm] \bruch{5}{3} [/mm] hat die Gleichung wieder zwei Lösungen.
Für Teil c brauche ich auch noch einen Moment 
>>>Und was ist wenn gar die dritte, zweite und erste Ableitung an ein und derselben stelle = null sind??
Du leitest solange weiter ab, bis Du irgendwann einmal an der Stelle ein Ergebnis ungleich 0 erhälst.
Ist das die 2nte (also gerade Ableitung), dann hast Du an der Stelle eine Extremstelle, ist es die (2n+1)te Ableitung (also ungerade), dann eine Wendestelle.
Zur Veranschaulichung kannst Du einfach einmal [mm] x^{6} [/mm] und einmal [mm] x^{7} [/mm] jeweils auf Extremstellen und Wendestellen untersuchen - (wobei ein Sattelpunkt ja gleichzeitig auch ein Wendepunkt ist).
Soweit erstmal...
LG Primat
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:50 So 24.02.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo danke für die antwort, meien Lösungen liegen die gleichen Überlegungen zu Grunde wie deinen nur, dass ich die Aufgabenstellung anders verstanden hab und zwar dass ich einen Faktor errechnen soll nämlich c mit dem ich die 48 mal nehme und dabeid er gewünschte y-Achsenabschnitt herauskommt also habe ich gleichungen aufgestellt:
z.B.
80-48c=0 oder 80-48c=3 um somit dann einen Faktor für c der, wenn man ihn mit 48 multipilziert und dann von den 80 subtrahiert eben den y-Achsenabschnitt erhält kurzes Beispiel:
Fall, dass die Funktion vier Nullstellen hat :
dafür muss c<3 und c>0 gelten, wenn ich nun einsetzte
80-48*c=3
c= 1,604
80-48*c=0
c=1,666
also ergibt sich c<1,666 und c>1,604
ich glaube den Fehler den du gemacht hast ist, dass du immer nur von
[mm] \bruch{-4}{3} [/mm] ausgegeangen bist . Jedoch liegt doch zum Beispiel der Bereich in dem dei Funktion 4 Nullstellen hat zwischen einen y-Achsenabschnitt c von 0-3 also von (4/3) +(80/48)=3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 So 24.02.2008 | | Autor: | Primat |
Hmmm... ich verstehe irgendwie noch nicht so genau, wie Du c jetzt verstehst ^^
Die Gleichung [mm] x^{4}-24x^{2}+80 [/mm] = 48c soll ja auf Lösungen untersucht werden (und ich verstehe das mal als Lösungen für x, da man ja für c einen Wert annimmt).
Wie genau kommst Du denn auf 80-48c=0 ? Was passiert mit [mm] x^{4} [/mm] und [mm] x^{2}? [/mm] Setzt Du für x=0?
*verwirrt*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 So 24.02.2008 | | Autor: | noobo2 |
also ich versteh jetzt aber zumindest was du gemacht hast wahrscheinlich hast du vollkommen recht nachdem man durch 48 geteilt hat ist die gleichung prinzipiell identsich zu der aus aufgabe a) und ab da haben wir die gleiche überlegung nur, dass ich den Fehler gemahct hab, dass ich so getan habe also ob die gleichung aus bh von anfang an ohne das teilen durhc 48 schon so wär wie die aus a also man die 48 noch beachten müsste, daher habe ich den faktor ausgerechnet, da wir die 48 aber benötigen um die Gleichung so umzuformen dass sie identsich zu aist hats du recht...
"- $ [mm] \bruch{4}{3} [/mm] $ ist absolutes Minimum von f, für c< - $ [mm] \bruch{4}{3} [/mm] $ hat die Gleichung also keine Lösung in $ [mm] \IR. [/mm] $
Für c=- $ [mm] \bruch{4}{3} [/mm] $ hat die Gleichung zwei Lösungen (nämlich x= $ [mm] \pm 2\wurzel{3} [/mm] $ )
Für den Bereich zwischen TP und HP gibt es 4 Lösungen, also - $ [mm] \bruch{4}{3} [/mm] $ < c < $ [mm] \bruch{5}{3} [/mm] $
In der Höhe des HP, also c= $ [mm] \bruch{5}{3} [/mm] $ gibt es drei Lösungen (nämlich x= $ [mm] \pm 3\wurzel{6} [/mm] $ und x= 0)
Für den Bereich oberhalb des HP, c > $ [mm] \bruch{5}{3} [/mm] $ hat die Gleichung wieder zwei Lösungen. "
wobei ich noch eine Frage dazu hätte und zwar du sagst beispielsweise, dass sobald c [mm] <\bruch{-4}{3} [/mm] keine Lösung hätte , aber wenn du davor aufgestellt hast
[mm] \bruch{1}{48}x^4-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{5}{3}=c [/mm] und nun für c [mm] \bruch{-4}{3} [/mm] einsetzt also im endeffekt
[mm] \bruch{1}{48}x^4-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{5}{3}=\bruch{-4}{3} [/mm] | [mm] +\bruch{4}{3}
[/mm]
also folgt
[mm] \bruch{1}{48}x^4-\bruch{1}{2}x^2+3=0 [/mm] und da hat die gleichung genau 2 Nullstellen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Di 26.02.2008 | | Autor: | Primat |
Stimmt genau, für c= - [mm] \bruch{4}{3} [/mm] gibt es zwei Lösungen, aber nicht für c < - [mm] \bruch{4}{3}.
[/mm]
c sei ja kleiner, nicht kleinergleich (< nicht [mm] \le [/mm] )
Ein Weg dahin wäre sonst auch über so eine Äquivalenzumformung möglich:
[mm] x^{4}-24x{^2}+80=48c [/mm] |substituiere [mm] x^{2}=z
[/mm]
[mm] z^{2}-24z+80=48c [/mm]
[mm] z^{2}-24z+80-48c=0 [/mm] |pq
[mm] z=12+\wurzel{144 - (80-48c)} \vee z=12-\wurzel{144 - (80-48c)}
[/mm]
um Lösungen in [mm] \IR [/mm] zu haben, muss der Krempel unter der Wurzel positiv (oder null) sein.
[mm] \Rightarrow [/mm] 144 - (80-48c) [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \gdw [/mm] 144-80+48c [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \gdw [/mm] 64 [mm] \ge [/mm] -48c
[mm] \gdw \bruch{64}{48} \ge [/mm] -c
[mm] \gdw \bruch{4}{3} \ge [/mm] -c
[mm] \gdw -\bruch{4}{3} \le [/mm] c also Lösungen in [mm] \IR [/mm] für c [mm] \ge -\bruch{4}{3} [/mm] und keine Lösung für c < [mm] -\bruch{4}{3}
[/mm]
Viel Spaß weiterhin und jetzt erstmal gute Nacht ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Mo 25.02.2008 | | Autor: | noobo2 |
aso ja danke ^^ stimmt das sind Tippfehler , war so leider wesentlich schwerer zum nachrechnen
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm] $y_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \mp\bruch{4}{3}*x+\bruch{8}{\red{3}}$
[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Den unteren Wert kann man noch kürzen zu [mm] $y_H [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{3}$ [/mm] .
