wesentliche Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mo 20.06.2022 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Aufgabe:
Bestimmen die Folgen $ [mm] (z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ [/mm] und $ [mm] (w_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}$ [/mm] mit
$ [mm] \lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n [/mm] =-1$
und
$ [mm] \frac{z_n}{z_n+1}=n,\frac{w_n}{w_n+1}=-n$ [/mm]
für alle $ [mm] n\in \mathbb{N},n\ge [/mm] N$ für ein geeignetes$ N [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] .Folgern Sie anschließend, dass die Funktion
[mm] [center]$f:\mathbb{C}\setminus \{-1\} \to \mathbb{C}, [/mm] z [mm] \mapsto exp(\frac{z}{z+1})$[/center] [/mm]
eine wesentliche Singularität in $ z = -1$ hat. |
Lösung:
Also eine wesentlichen Singularität ist definiert im Skript als :
Satz von Casorati-Weierstrass:
Die holomorphe Funktion [mm] $f:U\setminus \{a\} \to \mathbb{C}$ [/mm] habe in $a $ eine isolierte Singularität.
Gibt es Folgen [mm] $z_n$ [/mm] und [mm] $w_n \in [/mm] U [mm] \setminus \{a\}$ [/mm] mit
$ [mm] \lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n [/mm] =a$ und $ [mm] \lim_{n \to \infty} z_n \neq \lim_{n \to \infty} w_n [/mm] $
so hat $ f$ in $a$ eine wesentliche Singularität.
Zu erst muss gezeigt werden, dass $z= -1 $eine isolierte Singularität für $f $ist. $f$ hat in $-1 $eine isolierte Singularität, wenn es eine punktierte Umgebung von $-1$ gibt, in der $f$holomorph ist,d.h es gibt ein $r$ sodass [mm] $f|_{K_r(-1)}$ [/mm] holomorph ist.
$f$ ist holomorph $ [mm] \Leftrightarrow [/mm] f$ ist komplex diffbar in [mm] $z_0=-1 [/mm] $in einer Umgebung [mm] $\mathbb{C} \Leftrightarrow \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ [/mm] existiert.
das heißt [mm] $\lim_{z \to -1} \frac{f(z)-f(-1)}{z-(-1)}=0$ [/mm] (ist so richtig?) Das darf doch eigentlich nicht null sein oder?
Des weiteren habe ich für [mm] $w_n [/mm] = [mm] -\frac{n}{n+1}$,die [/mm] die beiden obigen Bedingungen erfüllt, habt ihr für [mm] $z_n$ [/mm] eine Idee?
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mo 20.06.2022 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe:
> Bestimmen die Folgen [mm](z_n)_{n\in \mathbb{N}}[/mm] und
> [mm](w_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}[/mm] mit
> [mm]\lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =-1[/mm]
> und
> [mm]\frac{z_n}{z_n+1}=n,\frac{w_n}{w_n+1}=-n[/mm]
> für alle [mm]n\in \mathbb{N},n\ge N[/mm] für ein geeignetes[mm] N \in \mathbb{N}[/mm]
> .Folgern Sie anschließend, dass die Funktion
>
> [mm]f:\mathbb{C}\setminus \{-1\} \to \mathbb{C}, z \mapsto exp(\frac{z}{z+1})[/mm]
>
> eine wesentliche Singularität in [mm]z = -1[/mm] hat.
> Lösung:
>
> Also eine wesentlichen Singularität ist definiert im
> Skript als :
>
> Satz von Casorati-Weierstrass:
> Die holomorphe Funktion [mm]f:U\setminus \{a\} \to \mathbb{C}[/mm]
> habe in [mm]a[/mm] eine isolierte Singularität.
>
>
> Gibt es Folgen [mm]z_n[/mm] und [mm]w_n \in U \setminus \{a\}[/mm] mit
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =a[/mm] und
> [mm]\lim_{n \to \infty} z_n \neq \lim_{n \to \infty} w_n[/mm]
Na,na, am Ende lautet das [mm] \lim f(z_n) \ne \lim f(w_n)
[/mm]
> so
> hat [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] eine wesentliche Singularität.
Das ist die Definition, aber nicht der Satz von Casorati - Weierstrass.
>
> Zu erst muss gezeigt werden, dass [mm]z= -1 [/mm]eine isolierte
> Singularität für [mm]f [/mm]ist. [mm]f[/mm] hat in [mm]-1 [/mm]eine isolierte
> Singularität, wenn es eine punktierte Umgebung von [mm]-1[/mm]
> gibt, in der [mm]f[/mm]holomorph ist,d.h es gibt ein [mm]r[/mm] sodass
> [mm]f|_{K_r(-1)}[/mm] holomorph ist.
Das sollte aber [mm] K_r(-1) \setminus \{-1\} [/mm] lauten.
>
> [mm]f[/mm] ist holomorph [mm]\Leftrightarrow f[/mm] ist komplex diffbar in
> [mm]z_0=-1 [/mm]in einer Umgebung [mm]\mathbb{C} \Leftrightarrow \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}[/mm]
> existiert.
Das ist nicht zu verstehen.
>
> das heißt [mm]\lim_{z \to -1} \frac{f(z)-f(-1)}{z-(-1)}=0[/mm] (ist
> so richtig?) Das darf doch eigentlich nicht null sein
> oder?
>
Was machst du da? f ist in -1 nicht differenzierbar, weil f dort nicht definiert ist.
> Des weiteren habe ich für [mm]w_n = -\frac{n}{n+1}[/mm],die die
> beiden obigen Bedingungen erfüllt, habt ihr für [mm]z_n[/mm] eine
> Idee?
Obige Definition von [mm] z_n [/mm] nach [mm] z_n [/mm] auflösen
>
> Danke für eure Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mo 20.06.2022 | | Autor: | nkln |
Hallo,
danke erstmal für deine Antwort.
ich habe nun für [mm] $z_n:=-\frac{n}{n-1}$ [/mm] raus und diese Folge erfüllt auch die Bedingungen. Kann ich jetzt einfach den Satz referenzieren den ich oben angeführt habe oder muss ich noch zeigen, dass $f$ holomorph ist auf [mm] $\mathbb{C}\setminus \{-1\}$ [/mm] und das $-1$ eine isolierte Singularität von $f$ ist, da diese ja Voraussetzung für den Satz sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Mo 20.06.2022 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke erstmal für deine Antwort.
>
> ich habe nun für [mm]z_n:=-\frac{n}{n-1}[/mm] raus und diese Folge
> erfüllt auch die Bedingungen. Kann ich jetzt einfach den
> Satz referenzieren den ich oben angeführt habe oder muss
> ich noch zeigen, dass [mm]f[/mm] holomorph ist auf
> [mm]\mathbb{C}\setminus \{-1\}[/mm] und das [mm]-1[/mm] eine isolierte
> Singularität von [mm]f[/mm] ist, da diese ja Voraussetzung für den
> Satz sind?
Du musst doch nur zeigen, dass [mm] \lim f(z_n) \ne \lim f(w_n) [/mm] ist. Dann bist du fertig.
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Wieso folgt daraus, dass die Singularität wesentlich ist und keine Polstelle?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Mi 22.06.2022 | | Autor: | fred97 |
> Wieso folgt daraus, dass die Singularität wesentlich ist
> und keine Polstelle?
Angenommen, $f$ hätte in $-1$ einen Pol. Ist dann [mm] $(v_n)$ [/mm] eine Folge mit [mm] $v_n \ne [/mm] -1$ für alle $n$ und [mm] $v_n \to [/mm] -1$, so gilt
[mm] $|f(v_n)| \to \infty$ [/mm] für $n [mm] \to \infty.$
[/mm]
Das ist aber ein Widerspruch, denn für obige Folge [mm] $(w_n)$ [/mm] gilt
[mm] $f(w_n) [/mm] = [mm] e^{-n} \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty.$
[/mm]
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Danke.
Mir war aus dem Blick geraten, dass im Komplexen ja [mm] +\infty=-\infty [/mm] gilt.
Bei einer Polstelle a kommt als Grenzwert ja immer [mm] \infty [/mm] für |f(a)| heraus und damit für alle Folgen [mm] \infty, [/mm] z.B.
[mm] \limes_{z\rightarrow 0} \bruch{1}{z} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1/n} =\infty [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{-1/n} [/mm] = [mm] -\infty =\infty,
[/mm]
und da beide Grenzwerte im Komplexen gleich sind, ist die Voraussetzung ungleicher Grenzwerte nicht erfüllt.
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> Aufgabe:
> Bestimmen die Folgen [mm](z_n)_{n\in \mathbb{N}}[/mm] und
> [mm](w_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}[/mm] mit
> [mm]\lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =-1[/mm]
> und
> [mm]\frac{z_n}{z_n+1}=n,\frac{w_n}{w_n+1}=-n[/mm]
> für alle [mm]n\in \mathbb{N},n\ge N[/mm] für ein geeignetes[mm] N \in \mathbb{N}[/mm]
> .Folgern Sie anschließend, dass die Funktion
>
> [mm]f:\mathbb{C}\setminus \{-1\} \to \mathbb{C}, z \mapsto exp(\frac{z}{z+1})[/mm]
>
> eine wesentliche Singularität in [mm]z = -1[/mm] hat.
> Lösung:
>
> Also eine wesentlichen Singularität ist definiert im
> Skript als :
>
> Satz von Casorati-Weierstrass:
> Die holomorphe Funktion [mm]f:U\setminus \{a\} \to \mathbb{C}[/mm]
> habe in [mm]a[/mm] eine isolierte Singularität.
>
>
> Gibt es Folgen [mm]z_n[/mm] und [mm]w_n \in U \setminus \{a\}[/mm] mit
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =a[/mm] und
> [mm]\lim_{n \to \infty} z_n \neq \lim_{n \to \infty} w_n[/mm]
Das widerspricht sich doch!
> so
> hat [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] eine wesentliche Singularität.
>
> Zu erst muss gezeigt werden, dass [mm]z= -1 [/mm]eine isolierte
> Singularität für [mm]f [/mm]ist. [mm]f[/mm] hat in [mm]-1 [/mm]eine isolierte
> Singularität, wenn es eine punktierte Umgebung von [mm]-1[/mm]
> gibt, in der [mm]f[/mm]holomorph ist,d.h es gibt ein [mm]r[/mm] sodass
> [mm]f|_{K_r(-1)}[/mm] holomorph ist.
>
> [mm]f[/mm] ist holomorph [mm]\Leftrightarrow f[/mm] ist komplex diffbar in
> [mm]z_0=-1 [/mm]in einer Umgebung [mm]\mathbb{C} \Leftrightarrow \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}[/mm]
> existiert.
>
> das heißt [mm]\lim_{z \to -1} \frac{f(z)-f(-1)}{z-(-1)}=0[/mm] (ist
> so richtig?) Das darf doch eigentlich nicht null sein
> oder?
>
> Des weiteren habe ich für [mm]w_n = -\frac{n}{n+1}[/mm],die die
> beiden obigen Bedingungen erfüllt, habt ihr für [mm]z_n[/mm] eine
> Idee?
>
> Danke für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Mi 22.06.2022 | | Autor: | fred97 |
> > Aufgabe:
> > Bestimmen die Folgen [mm](z_n)_{n\in \mathbb{N}}[/mm] und
> > [mm](w_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C}[/mm] mit
> > [mm]\lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =-1[/mm]
> > und
> > [mm]\frac{z_n}{z_n+1}=n,\frac{w_n}{w_n+1}=-n[/mm]
> > für alle [mm]n\in \mathbb{N},n\ge N[/mm] für ein geeignetes[mm] N \in \mathbb{N}[/mm]
> > .Folgern Sie anschließend, dass die Funktion
> >
> > [mm]f:\mathbb{C}\setminus \{-1\} \to \mathbb{C}, z \mapsto exp(\frac{z}{z+1})[/mm]
> >
> > eine wesentliche Singularität in [mm]z = -1[/mm] hat.
> > Lösung:
> >
> > Also eine wesentlichen Singularität ist definiert im
> > Skript als :
> >
> > Satz von Casorati-Weierstrass:
> > Die holomorphe Funktion [mm]f:U\setminus \{a\} \to \mathbb{C}[/mm]
> > habe in [mm]a[/mm] eine isolierte Singularität.
> >
> >
> > Gibt es Folgen [mm]z_n[/mm] und [mm]w_n \in U \setminus \{a\}[/mm] mit
> >
>
>
> > [mm]\lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =a[/mm] und
>
> > [mm]\lim_{n \to \infty} z_n \neq \lim_{n \to \infty} w_n[/mm]
>
> Das widerspricht sich doch!
Das habe ich in meiner ersten Antwort schon gesagt und berichtigt.
>
> > so
> > hat [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm] eine wesentliche Singularität.
> >
> > Zu erst muss gezeigt werden, dass [mm]z= -1 [/mm]eine isolierte
> > Singularität für [mm]f [/mm]ist. [mm]f[/mm] hat in [mm]-1 [/mm]eine isolierte
> > Singularität, wenn es eine punktierte Umgebung von [mm]-1[/mm]
> > gibt, in der [mm]f[/mm]holomorph ist,d.h es gibt ein [mm]r[/mm] sodass
> > [mm]f|_{K_r(-1)}[/mm] holomorph ist.
> >
> > [mm]f[/mm] ist holomorph [mm]\Leftrightarrow f[/mm] ist komplex diffbar in
> > [mm]z_0=-1 [/mm]in einer Umgebung [mm]\mathbb{C} \Leftrightarrow \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}[/mm]
> > existiert.
> >
> > das heißt [mm]\lim_{z \to -1} \frac{f(z)-f(-1)}{z-(-1)}=0[/mm] (ist
> > so richtig?) Das darf doch eigentlich nicht null sein
> > oder?
> >
> > Des weiteren habe ich für [mm]w_n = -\frac{n}{n+1}[/mm],die die
> > beiden obigen Bedingungen erfüllt, habt ihr für [mm]z_n[/mm] eine
> > Idee?
> >
> > Danke für eure Hilfe!
>
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