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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 So 24.05.2009 | | Autor: | one |
| Aufgabe | | Zeige dass die Funktion f = [mm] e^{\bruch{1}{z^3}} [/mm] im Punkt z = 0 eine wesentliche Singularität besitzt. |
Also ich kann ja die Funktion f = [mm] e^{\bruch{1}{z^3}} [/mm] schreiben als
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}*z^{-3n} [/mm] = [mm] \summe_{n=-\infty}^{0}\bruch{1}{(-n)!}*z^{3n}
[/mm]
nun setze ich m := 3n
so folgt:
[mm] \summe_{m=0}^{\infty}\bruch{1}{(-m/3)!}*z^{m}.
[/mm]
(Doch bei diesem Schritt bin ich mir überhaupt nicht sicher...)
Wie kann ich nun weitermachen?
Ich muss ja zeigen, dass für die Summe [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}a_n*(z-c)^n [/mm] ein [mm] n_0 [/mm] existiert, mit [mm] a_n [/mm] = 0 für alle [mm] n\le n_0.
[/mm]
Doch wie kriege ich dies hin?
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Hallo one,
> Zeige dass die Funktion f = [mm]e^{\bruch{1}{z^3}}[/mm] im Punkt z =
> 0 eine wesentliche Singularität besitzt.
> Also ich kann ja die Funktion f = [mm]e^{\bruch{1}{z^3}}[/mm]
> schreiben als
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}*z^{-3n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{0}\bruch{1}{(-n)!}*z^{3n}[/mm]
>
> nun setze ich m := 3n
>
> so folgt:
>
> [mm]\summe_{m=0}^{\infty}\bruch{1}{(-m/3)!}*z^{m}.[/mm]
Hier hast Du [mm]m=3n[/mm] substituiert.
Da n von [mm]-\infty[/mm] bis 0 läuft, gilt das auch für m.
Daher lautet dann die Summe:
[mm]\summe_{m=-\infty}^{0}\bruch{1}{(-m/3)!}*z^{m}[/mm]
>
> (Doch bei diesem Schritt bin ich mir überhaupt nicht
> sicher...)
>
> Wie kann ich nun weitermachen?
> Ich muss ja zeigen, dass für die Summe
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty}a_n*(z-c)^n[/mm] ein [mm]n_0[/mm] existiert,
> mit [mm]a_n[/mm] = 0 für alle [mm]n\le n_0.[/mm]
> Doch wie kriege ich dies
> hin?
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeige dass die Funktion f = [mm]e^{\bruch{1}{z^3}}[/mm] im Punkt z =
> 0 eine wesentliche Singularität besitzt.
> Also ich kann ja die Funktion f = [mm]e^{\bruch{1}{z^3}}[/mm]
> schreiben als
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!}*z^{-3n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{0}\bruch{1}{(-n)!}*z^{3n}[/mm]
>
> nun setze ich m := 3n
>
> so folgt:
>
> [mm]\summe_{m=0}^{\infty}\bruch{1}{(-m/3)!}*z^{m}.[/mm]
>
> (Doch bei diesem Schritt bin ich mir überhaupt nicht
> sicher...)
Dieser Schritt ist auch völliger Unsinn !!!
>
> Wie kann ich nun weitermachen?
> Ich muss ja zeigen, dass für die Summe
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty}a_n*(z-c)^n[/mm] ein [mm]n_0[/mm] existiert,
> mit [mm]a_n[/mm] = 0 für alle [mm]n\le n_0.[/mm]
Das verstehe ich nicht ! Do sollst doch zeigen, dass in 0 eine wesentliche Singularität vorliegt.
Ist also
$ [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}a_n\cdot{}z^n [/mm] $
Die Laurententwicklung um 0, so mußt Du zeigen:
[mm] $a_{-n} \not= [/mm] 0$ für unendlich viele $n [mm] \in \IN$
[/mm]
Aber das hast Du doch vor der Nase !!!!!!: das
$ [mm] \summe_{n=-\infty}^{0}\bruch{1}{(-n)!}\cdot{}z^{3n} [/mm] $
ist die Laurententw. um 0
FRED
> Doch wie kriege ich dies
> hin?
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