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| Aufgabe | Sei f = (an) eine konvergente Folge mit nichtnegativen Gliedern. Zeigen Sie:
(a) lim f [mm] \ge [/mm] 0,
(b) [mm] \wurzel[]{f} [/mm] := [mm] (\wurzel[]{an}) \in [/mm] c und lim [mm] \wurzel[]{f} [/mm] = [mm] \wurzel[]{lim f} [/mm] |
Hallihallo,
die Loesung zu dieser Aufgabe versteh ich wieder nicht ganz. Ich zitiere wieder und unterbrech da, wo mein Verstaendnis aufhoert:
"(a) Dies folgt sofort aus 1.2.10(e)*, denn es gilt
0 [mm] \le [/mm] an fuer jedes n [mm] \in \IN,
[/mm]
insbesondere fuer fast alle n [mm] \in \IN, [/mm] und damit 0 = lim f0 [mm] \le [/mm] lim f (f0..Nullfolge).
(b) Wegen (a) ist [mm] \wurzel[]{limf} [/mm] erklaert."
Moment, das versteh ich nicht. Wieso ist das wegen (a) erklaert? Auch was hier im Folgenden noch geschieht kann ich leider nicht nachvollziehen:
"Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 vorgegeben. Wir unterscheiden nun die beiden Faelle
(1) lim f = 0,
(2) lim f > 0.
Im Fall (1) setzen wir [mm] \varepsilon' [/mm] := [mm] \varepsilon^2. [/mm] Dann ist [mm] \varepsilon' [/mm] > 0, und da die Folge f = (an) gegen lim f = 0 konvergiert, gilt
an = |an - 0| < [mm] \varepsilon' [/mm] = [mm] \varepsilon^2 [/mm] fuer fast alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Fuer diese n [mm] \in \IN [/mm] erhalten wir daher
[mm] |\wurzel[]{an} [/mm] - [mm] \wurzel[]{0}| [/mm] = [mm] \wurzel[]{an} [/mm] < [mm] \wurzel[]{\varepsilon^2} [/mm] = [mm] \varepsilon."
[/mm]
*Seien f = (an), g = (bn) [mm] \in [/mm] c, dann gilt: an [mm] \le [/mm] bn fuer fast alle n [mm] \in \IN [/mm] => lim f [mm] \le [/mm] lim g
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Mi 04.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei f = (an) eine konvergente Folge mit nichtnegativen
> Gliedern. Zeigen Sie:
> (a) lim f [mm]\ge[/mm] 0,
> (b) [mm]\wurzel[]{f}[/mm] := [mm](\wurzel[]{an}) \in[/mm] c und lim
> [mm]\wurzel[]{f}[/mm] = [mm]\wurzel[]{lim f}[/mm]
> Hallihallo,
> die Loesung zu dieser Aufgabe versteh ich wieder nicht
> ganz. Ich zitiere wieder und unterbrech da, wo mein
> Verstaendnis aufhoert:
>
> "(a) Dies folgt sofort aus 1.2.10(e)*, denn es gilt
>
> 0 [mm]\le[/mm] an fuer jedes n [mm]\in \IN,[/mm]
>
> insbesondere fuer fast alle n [mm]\in \IN,[/mm] und damit 0 = lim f0
> [mm]\le[/mm] lim f (f0..Nullfolge).
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> (b) Wegen (a) ist [mm]\wurzel[]{limf}[/mm] erklaert."
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> Moment, das versteh ich nicht. Wieso ist das wegen (a)
> erklaert? Auch was hier im Folgenden noch geschieht kann
> ich leider nicht nachvollziehen:
Na ja in a) wurdee gezeigt, dass [mm] limf\ge0 [/mm] und nur dann kannst du ne Wurzel definieren!
Im folgenden wird einfach mit der [mm] N,\varepsilon [/mm] definition gezeigt, dass [mm] \wurzel{limfn} [/mm] der GW von [mm] \wurzel{an} [/mm] ist, dazu muss man doch nur zeigen, das fuer jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein N existiert sodass....
und das N wurde aus der Konvergenz von an gefunden!
sieh dir den Beweis daraufhin einfach genau an
Gruss leduart
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