winkelgeschw./beschleunigung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Mo 15.11.2004 | | Autor: | timotb |
Ein teilchen bewegt sich mit konstanter winkelgeschwindikeit (w=omega). seine position ist duch ortsvektor [mm] \overrightarrow{r} [/mm] = (cos wt,sin wt) gegeben. zeige, dass:
a) der geschwindikeitsvektor [mm] \overrightarrow{v} [/mm] senkrecht auf [mm] \overrightarrow{r} [/mm] steht,
b) die Beschleunigung [mm] \overrightarrow{a} [/mm] zum Mittelpunkt hin gerichtet ist
c) der Vektor [mm] \overrightarrow{r} [/mm] x [mm] \overrightarrow{v} [/mm] zeitlich kontant ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Di 16.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Tim
> Ein teilchen bewegt sich mit konstanter
> winkelgeschwindikeit (w=omega). seine position ist duch
> ortsvektor [mm]\overrightarrow{r}[/mm] = (cos wt,sin wt) gegeben.
> zeige, dass:
>
> a) der geschwindikeitsvektor [mm]\overrightarrow{v}[/mm] senkrecht
> auf [mm]\overrightarrow{r}[/mm] steht,
>
> b) die Beschleunigung [mm]\overrightarrow{a}[/mm] zum Mittelpunkt
> hin gerichtet ist
>
> c) der Vektor [mm]\overrightarrow{r}[/mm] x [mm]\overrightarrow{v}[/mm]
> zeitlich kontant ist.
>
Dazu musst du nur folgendes wissen:
1) [mm] $\vec{r}$ [/mm] ist dier Ort in Abhängigkeit der Zeit.
2) Der Geschwindigkeitsvektor ist der Ortsvektor, abgeleitet nach der Zeit. Die Vektorkomponenten dürfen einzeln abgeleitet werden und ergeben so die einzelnen Komponenten der Geschwindigkeit.
3) Der Beschleunigungsvektor ist der Geschwindigkeitsvektor, abgeleitet nach der Zeit. Die Vektorkomponenten dürfen einzeln abgeleitet werden und ergeben so die einzelnen Komponenten der Beschleunigung.
4) Zum Ableiten gilt: innere Ableitung mal äussere Ableitung.
5) 2 Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt den Wert 0 hat.
6) Ein physikalisches Ding ist zeitunabhängig, wenn in der Formel zur Berechnung die Zeit fehlt.
Dies ergibt nacheinander:
[mm] $\vec{r}=(\cos\omega t,\sin \omega [/mm] t)$
[mm] $\vec{v}= (-\omega\sin\omega t,\omega\cos \omega [/mm] t)$
[mm] $\vec{a}=(-\omega^{2}\cos\omega t,-\omega^{2}\sin \omega [/mm] t)$
Jetzt solltest du die Aufgaben selber ohne weiteres hinbekommen.
Zum Beispiel a) Vektorprodukt bilden und kontrollieren, ob es 0 ergibt.
[mm] $\vec{r}*\vec{v}=(\cos\omega t,\sin \omega t)*(-\omega\sin\omega t,\omega\cos \omega [/mm] t)=$
[mm] $\cos\omega [/mm] t [mm] *(-\omega\sin\omega [/mm] t) + [mm] \sin \omega [/mm] t * [mm] \omega\cos \omega [/mm] t = $
[mm] $-\omega\sin\omega t\cos\omega [/mm] t + [mm] \omega\sin\omega t\cos\omega [/mm] t = 0$
Kannst du vielleicht die abnderen, ähnlich einfachen Aufgaben, selber versuchen?
Vielleich noch als Tipp für c): [mm] $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$, [/mm] für alle Winkel.
Mit lieben Grüssen
Paul
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