wo Gewinn f. andere Schreibwei < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 So 08.06.2014 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Guten Abend,
f(x)= [mm] -\bruch{1}{6}x^3+2x
[/mm]
f(x)=0
[mm] 0=x^3 [/mm] - 12x
0= [mm] x(x^2-12)
[/mm]
[mm] x_1=0 [/mm] dopp.Nullst.
[mm] x^2 [/mm] = 12
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{12}
[/mm]
fertig. |
Doch ist die Lösung angegeben mit
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm 2\wurzel{3}
[/mm]
[mm] \pm \wurzel{12} [/mm] = [mm] \pm 2\wurzel{3}
[/mm]
Wie diese Umformung geschieht, das habe ich schon allein rausbekommen, doch ist mir der Gewinn für die andere Schreibweise nicht klar.
Warum soll es besser sein zu schreiben
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm 2\wurzel{3}
[/mm]
statt
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{12}
[/mm]
Für klärende Antwort vielen DANK im voraus!
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 So 08.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Warum sollte x=0 eine doppelte Nullstelle sein? Die hast du nur wenn der linear Faktor auch wirklich zwei mal vorkommt, also wenn du [mm] x^2 [/mm] ausgeklammert hättest. Das ist falsch. Außerdem liegt bei einer doppelten Nullstelle auch ein Berührpunkt mit der x-Achse vor, welcher Extrempunkt ist. Das ist hier auch nicht gegeben.
Der Vorteil der Schreibweise
[mm] $2\sqrt{3}$ [/mm] ist zum Beispiel, dass du dies leicht im Kopf abschätzen kannst. Man weiß aus Erfahrung, dass [mm] $\sqrt{3}\approx [/mm] 1,73$ ist. Das hat man schon oft im Taschenrechner eingetippt und gesehen. Dies mit 2 zu multiplizieren ist leicht. Du kannst also leichter abschätzen was
[mm] 2\sqrt{3} [/mm] ist als was [mm] \sqrt{12} [/mm] ist. Da könnte ich nur sagen, dass es größer als 3 aber kleiner als 4 sein muss.
Selbes gilt zum Beispiel auch wenn du sowas hast
[mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}$
[/mm]
Es ist üblicher den Nenner rational zu halten, also den Bruch so zu schreiben.
[mm] $\frac{\sqrt{2}}{2}$ [/mm] auch hier gilt wieder, dass du dies leichter im Kopf nachvollziehen kannst, was für ein Wert das ist. Die hälfte von 1,41 ist leicht berechnet.
Naja, welchen Vorteil hast du dadurch. Im Grunde keinen. Zum Teil ist dies einfach ein überbleibsel aus der Zeit wo die Schüler noch keine Taschenrechner hatten und die Werte in Tabellen ablesen mussten. Zum anderen ist dies natürlich hilfreich wenn du mal keinen TR hast und dennoch eine Funktion zeichen möchtest. Du kannst so nun mal die Werte relativ leicht, recht gut annähern.
Andere Gründe fallen mir nicht ein. Wäre da nicht noch dieser hier.
Solche Umformungsmöglichkeiten zu kennen ist wichtig.
Bei mir im Mathematik Studium hatten wir mal einen ankreuz Test geschrieben da wurde anstatt [mm] $\sqrt{20}$ [/mm] was man als Lösung automatisch erhielt zum ankreuzen nur [mm] $2\sqrt{5}$ [/mm] angegeben.
Aus meiner Übungsgruppe war ich der einzige(!) der dies richtig angekreuzt hatte. Alle anderen dachten die Lösung wäre nicht aufgeführt.
Auch ist es wichtiger wenn du mal eine Variable, Paramter oder sonstiges ausklammern möchtest um eine Rechnung zu vereinfachen, zu kürzen oder sonstiges.
Es geht hierbei mehr darum mit den Rechengesetzen umzugehen, und die Rechengesetze für Wurzeln und Logarithmen werden gerne vernachlässigt, du hast sie dir aber wieder ins Gedächtnis gerufen. Ziel der Aufgabe erfüllt.
Verstehst du wie ich das meine?
Und damit der Rechenweg hier noch einmal steht:
[mm] $\sqrt{12}=\sqrt{3\cdot 4}=\sqrt{3}\sqrt{4}=2\sqrt{3}$
[/mm]
Wenn du also eine solche Zerlegung durchführen möchtest, dann zerlege die Zahl in ein Produkt wo am besten ein Faktor eine Quadratzahl ist.
Um es also nochmal zusammenzufassen.
Eine solche Umformung kann zum einen für ein besseres "Werteverständnis" beitragen im Bezug aufs Überschlagrechnen. Zum anderen kann man hier ein wenig mit Rechengesetzen rumspielen um diese zu vertiefen.
Dabei sei gesagt, dass die Aufgabenstellung nicht von dir verlangt diese Form zu erhalten einfach [mm] $\sqrt{12}$ [/mm] wäre als Lösung genau so richtig gewesen, da ich [mm] $2\sqrt{12}$ [/mm] auch nicht mehr als Vereinfachung ansehe, da der Ausdruck nicht mehr wirklich vereinfacht wurde im Sinne, dass spätere Rechnungen dadurch wirklich einfacher werden. Dies ist nämlich eher nicht der Fall.
Es handelt sich hier also im Grunde nur um eine kleine rechnerische Spielerei des Aufgabenstellers, die man jedoch durchaus betrachten sollte um diese Rechengesetze im Hinterkopf zu behalten.
Du siehst, es kann eine relativ lange Antwort auf eine scheinbar simple Frage geben.
Ich hoffe die Antwort war zufriedenstellend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:53 Mo 09.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Sabine,
> f(x)= [mm]-\bruch{1}{6}x^3+2x[/mm]
>
> f(x)=0
>
> [mm]0=x^3[/mm] - 12x
>
> 0= [mm]x(x^2-12)[/mm]
>
> [mm]x_1=0[/mm] dopp.Nullst.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Polynom dritten Grades mit vier Nullstellen?
> [mm]x^2[/mm] = 12
>
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\pm \wurzel{12}[/mm]
Hier stehen (wieder) Zeilen ohne Zusammenhang.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:27 Mo 09.06.2014 | | Autor: | Fulla |
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> > f(x)= [mm]-\bruch{1}{6}x^3+2x[/mm]
> >
> > f(x)=0
> >
> > [mm]0=x^3[/mm] - 12x
> >
> > 0= [mm]x(x^2-12)[/mm]
> >
> > [mm]x_1=0[/mm] dopp.Nullst.
>
>
>
> Polynom dritten Grades mit vier Nullstellen?
Da hast du recht (auch wenn zu diesem Zeitpunkt noch nicht klar ist, wie viele Nullstellen es denn gibt).
> > [mm]x^2[/mm] = 12
> >
> > [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\pm \wurzel{12}[/mm]
>
> Hier stehen (wieder) Zeilen ohne Zusammenhang.
Mit Verlaub, DieAcht, hier stehen Zeilen, wo vielleicht ein "[mm]\Longleftrightarrow[/mm]" fehlt, aber die Folgerung ist richtig.
Lieben Gruß,
Fulla
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> Hallo Sabine,
>
>
> > f(x)= [mm]-\bruch{1}{6}x^3+2x[/mm]
> >
> > f(x)=0
> >
> > [mm]0=x^3[/mm] - 12x
> >
> > 0= [mm]x(x^2-12)[/mm]
> >
> > [mm]x_1=0[/mm] dopp.Nullst.
>
>
>
> Polynom dritten Grades mit vier Nullstellen?
>
> > [mm]x^2[/mm] = 12
> >
> > [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\pm \wurzel{12}[/mm]
>
> Hier stehen (wieder) Zeilen ohne Zusammenhang.
Hallo,
was meinst Du damit?
Ich sehe hier durchaus Zusammenhang.
Wir befinden uns im Schulforum.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Mo 09.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Sabine,
> > Hier stehen (wieder) Zeilen ohne Zusammenhang.
>
> grrrrrr, vergessen.
> Das wird aber noch dauern, bis das ausgetrieben bzw.
> bis ich mit "daraus folgt" u. "äquivalent" IMMER ergänzen
> werde.
> So ist das, wenn man´s nicht gleich richtig von Anfang an
> gelernt hat.
Das macht doch überhaupt nichts. Im Kontext deiner Rechnung ergibt sich der Zusammenhang von selbst.
>
> Und für Schule würde ich es so halten: Je nach Schulform
> u. Klassenstufe, aber in die Oberstufe gehörts schon hin.
Schön wäre das ja: aber die Erfahrung zeigt, dass man heutzutage im Matheunterricht andere Probleme hat als Schreibweisen der Logik einzuführen.
Und nochmal (es wurde schon gesagt): dein einziger Fehler oben war der, das x als doppelte Nullstelle zu bezeichnen.
Man nennt für
[mm] (x-c)^n=0
[/mm]
c n-fache Lösung (bzw. Nullstelle, wenn es um eine Funktion geht) und man spricht in diesem Zusammenhang auch von der sog. algebraischen Vielfachheit. Geometrisch im Zusammenhang mit Kurvendiskussionen sind diese mehrfachen Nullstellen interessant insofern, als bei gerader Vielfachheit ein Extremum und bei ungerader ein Sattel- bzw. Terassenpunkt vorliegt. Das bekommt man sozusagen gratis mitgeliefert, wenn man bei der Nullstellenberechnung auf diese Mehrfachlösungen achtet.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Di 10.06.2014 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Diophant,
> > Und für Schule würde ich es so halten:
> > Je nach Schulform u. Klassenstufe,
> > aber in die Oberstufe gehörts schon
> > hin.
> Schön wäre das ja: aber die Erfahrung zeigt, dass man
> heutzutage im Matheunterricht andere Probleme hat als
> Schreibweisen der Logik einzuführen.
Ja, du hast vollkommen recht, wenn doch wenigstens Prozentrechnen u. alle anderen Grundlagen auch richtig sitzen würden. Trotzdem werde ich mich bemühen, Gleichungen mit dem Folgerungs- u. dem Äquvalenzeichen zukünftig zu verbinden.
>
> Und nochmal (es wurde schon gesagt): dein einziger Fehler
> oben war der, das x als doppelte Nullstelle zu bezeichnen.
Es war "NUR" ein Flüchtigkeitsfehler, denn, wenn [mm] x^2=0
[/mm]
DANN ist es eine dopp. Nullst.
Weil ich vorher immer aus [mm] x^2=0 [/mm] die Wurzel zu ziehen hatte,
habe ich hier automatisch auch eine hoch 2 gesehen.
(Ich bräuchte auch mal dringend ein Konzentrationskurs 
> Man nennt für
>
> [mm](x-c)^n=0[/mm]
>
> c n-fache Lösung (bzw. Nullstelle, wenn es um eine
> Funktion geht) und man spricht in diesem Zusammenhang auch
> von der sog. algebraischen Vielfachheit. Geometrisch im
> Zusammenhang mit Kurvendiskussionen sind diese mehrfachen
> Nullstellen interessant insofern, als bei gerader
> Vielfachheit ein Extremum und bei ungerader ein Sattel-
> bzw. Terassenpunkt vorliegt. Das bekommt man sozusagen
> gratis mitgeliefert, wenn man bei der Nullstellenberechnung
> auf diese Mehrfachlösungen achtet.
Das druck ich mir aus u. bleibt solange aufm Schreibtisch liegen bis ichs brauche u. ich werde darauf zurückgreifen - schon bald.
Terrassenpkt. nie gehört, aber es kann nur ein Sattelpkt. mit Steig. gleich null sein. Was für ein schöner Name. Kann man mal gemütlich ausruhen, statt unbequem am Hang
Euch allen nochmal vielen lieben DANK
u. weiterhin gutes Wetter
Sabine
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