\wurzel{2+\wurzel{2+...}} < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:49 Mo 03.12.2012 | | Autor: | jollo |
| Aufgabe | | Für jedes n [mm] \in [/mm] N gilt: [mm] \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{....+\wurzel{2}}}}} [/mm] < 2 |
Also mir ist klar, dass dass nie 2 ergeben kann weil 2 + [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht 4 ist und somit die wurzel davon nicht 2 ist und das halt von hinten nach vorne je nachdem wie viele Wurzeln da halt stehen.
Frage ist jetzt: wie schreib ich das vernünftig auf damit mich mein Tutor nicht wieder zur Schnecke macht wegen der Schreibweise? Ich hab nicht so wirklich die Idee..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:05 Mo 03.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für jedes n [mm]\in[/mm] N gilt:
> [mm]\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{....+\wurzel{2}}}}}[/mm] < 2
> Also mir ist klar, dass dass nie 2 ergeben kann weil 2 +
> [mm]\wurzel{2}[/mm] nicht 4 ist und somit die wurzel davon nicht 2
> ist und das halt von hinten nach vorne je nachdem wie viele
> Wurzeln da halt stehen.
>
> Frage ist jetzt: wie schreib ich das vernünftig auf damit
> mich mein Tutor nicht wieder zur Schnecke macht wegen der
> Schreibweise? Ich hab nicht so wirklich die Idee..
sei [mm] $a_1:=\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $a_{n+1}:=\sqrt{2+a_n}$ [/mm] für alle natürlichen
$n [mm] \ge 1\,.$
[/mm]
Wir zeigen die Behauptung per Induktion über [mm] $n\,:$
[/mm]
Für [mm] $a_1$ [/mm] gilt [mm] $a_1=\sqrt{2} [/mm] < [mm] 2\,,$ [/mm] was, falls dem jemand nicht Glauben
schenken sollte, sich auch wie folgt beweisen läßt:
Für $r,s [mm] \ge [/mm] 0$ gilt $r < s [mm] \gdw r^2 [/mm] < [mm] s^2\,,$ [/mm] und offenbar ist [mm] $\sqrt{2}^2=2 [/mm] < [mm] 4=2^2\,.$
[/mm]
$n [mm] \to [/mm] n+1:$
Nach I.V. ist $(0 [mm] \le)\;\;\;a_n [/mm] < [mm] 2\,.$
[/mm]
Wegen $r < s [mm] \gdw r^2 [/mm] < [mm] s^2\,,$ [/mm] SOFERN $r,s [mm] \ge 0\,,$ [/mm] gelten, wenn man
[mm] $\red{\;a_n \;\ge\; 0\;}$ ($\leftarrow$ das sollte man eigentlich auch nochmal
begründen/beweisen: Es gilt $a_n \ge 0$ für alle $n\,$) und $\red{\;2 \;\ge\; 0\;}$
beachtet, die folgenden Umformungen:
$$a_{n+1} < 2$$
$$\gdw a_{n+1}^2 < 2^2$$
$$\gdw (\,\sqrt{2+a_n}\,)^2 < 4$$
$$\gdw ...$$
Na, siehst Du, was Du noch zu tun hast? (Tipp: die I.V. muss ja noch
irgendwo eingehen, und eigentlich brauchst Du bei den "$\gdw$" immer
die Folgerungen "$\Leftarrow$" und brauchst das ganze am Ende dann
nur von unten nach oben zu lesen - am besten schreibst Du das dann auch
entsprechend auf, ohne meine "$\gdw$"-Umformungen, nur mit
Folgerungspfeilen in eine Richtung, also "straightforward"!)
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Mo 03.12.2012 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> Für jedes n [mm]\in[/mm] N gilt:
> [mm]\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{....+\wurzel{2}}}}}[/mm] <
> 2
> Also mir ist klar, dass dass nie 2 ergeben kann weil 2 +
> [mm]\wurzel{2}[/mm] nicht 4 ist und somit die wurzel davon nicht 2
> ist und das halt von hinten nach vorne je nachdem wie viele
> Wurzeln da halt stehen.
Ich finde das übrigens nicht so klar:
Denn etwa bei
[mm] $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$$
[/mm]
sehe ich nicht direkt, dass das $< [mm] 2\,$ [/mm] wäre. Ich könnte es aber mal
"durch Testrechnung nachrechnen":
[mm] $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \red{\stackrel{\;!\;}{\;<\;}}2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw 2+\sqrt{2+\sqrt{2}} \red{\stackrel{\;!\;}{\;<\;}} [/mm] 4$$
[mm] $$\gdw \sqrt{2+\sqrt{2}} \red{\stackrel{\;!\;}{\;<\;}} [/mm] 2$$
[mm] $$\gdw 2+\sqrt{2}\red{\stackrel{\;!\;}{\;<\;}}4$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \sqrt{2} \red{\stackrel{\;!\;}{\;<\;}} [/mm] 2$$
Passt also.
Nebenbei: Wenn man sich das anguckt, meinetwegen auch mal für [mm] $a_4\,,$
[/mm]
dann sieht man hier eigentlich auch, dass man sowas wie eine rekursive
Beweismethode anwenden könnte: Durch sukzessives Quadrieren und
[mm] $-2\,$ [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung Rechnen läßt sich die Behauptung
auf [mm] $\sqrt{2} [/mm] < [mm] 2\,$ [/mm] zurückführen.
Oder Du machst das "ohne Induktion 'straightforward'" (eigentlich ist das
auch eine Induktion, aber das ganze wird anders verkleidet):
Es gilt
[mm] $$\blue{\sqrt{2} < 2}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow 2+\sqrt{2} [/mm] < 2+2 [mm] \gdw 2+\sqrt{2} [/mm] < 4$$
[mm] $$\Rightarrow \blue{\sqrt{2+\sqrt{2}} < \sqrt{4}=2}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow 2+\sqrt{2+\sqrt{2}} [/mm] < 4$$
[mm] $$\Rightarrow \blue{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} < \sqrt{4}=2}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] ...$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
(Das hier ist ein wenig "konstruktiver": Aus der wahren Aussage [mm] $\sqrt{2} [/mm] < 2$
folgt schrittweise die Behauptung durch sukzessives Vorgehen: Erst
addiert man auf beiden Seiten der Ungleichung [mm] $2\,$ [/mm] hinzu, danach zieht
man die Wurzel..." Die blauen Teile "zeigen die gewünschten Ergebnisse").
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 So 09.12.2012 | | Autor: | jollo |
Danke nochmal, hat super funktioniert!
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