wurzel auflösen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Do 20.01.2005 | | Autor: | anni85 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo
ich habe immer noch ein problem mit der wurzel [mm] \wurzel{-3+4i} [/mm] . ich weiß zwar das 1+2i raus kommt,aber ich weiß nicht wie ich darauf komme.
vielleicht könnt ihr mir ja weiter helfen, danke..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Do 20.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo anni85,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> hallo
> ich habe immer noch ein problem mit der wurzel
> [mm]\wurzel{-3+4i}[/mm] . ich weiß zwar das 1+2i raus kommt,aber ich
> weiß nicht wie ich darauf komme.
Naja, eine Möglichkeit (mit etwas geschicktem Rechnen ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") ):
Wir suchen eine Darstellung $a+bi$ ($a,b [mm] \in \IR$) [/mm] von [mm] $\wurzel{-3+4i}$. [/mm] Dann muss doch offenbar gelten:
[mm](a+bi)^2=-3+4i[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\blue{(a^2-b^2)}+\green{2ab}i=\blue{-3}+\green{4}i$
[/mm]
Durch Vergleich von Real und Imaginärteil folgt:
(I) [mm] $a^2-b^2=-3$
[/mm]
(II) $2ab=4$
Wegen (I) folgt $b [mm] \not=0$ [/mm] (beachte: $a [mm] \in \IR$). [/mm] Somit kann man (II) bedenkenlos durch $b$ teilen, und erhält:
[mm] $a=\frac{2}{b}$. [/mm] Setzen wir dies in (I) ein:
[mm] $\frac{4}{b^2}-b^2=-3$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $b^4-3b^2-4=0$
[/mm]
Substituieren wir:
[mm] $z:=b^2$, [/mm] so ergibt sich:
[mm] $z^2-3z-4=0$
[/mm]
Mit der  PQFormel:
[mm] $z_{1,2}=\frac{3}{2}\pm\wurzel{\frac{25}{4}}=\frac{3\pm5}{2}$.
[/mm]
Also:
[mm] $z_1=4$ [/mm] und [mm] $z_2=-1$.
[/mm]
Wegen [mm] $z=b^2$ [/mm] gilt aber $z [mm] \ge [/mm] 0$, also fällt [mm] $z_2$ [/mm] weg. Damit:
[mm] $b^2=z=4$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $b_{1,2}=\pm2$
[/mm]
1. Fall:
$b=2$ liefert mit (II): $a=1$
Also ist $1+2i$ eine (komplexe) Lösung der Gleichung [mm] $x^2=-3+4i$ [/mm] (wie man auch leicht nachrechnet).
2.Fall:
$b=-2$ liefert mit (II): $a=-1$.
Also ist auch $-1-2i$ eine (komplexe) Lösung der Gleichung [mm] $x^2=-3+4i$ [/mm] (wie man auch leicht nachrechnet).
So, und warum haben wir jetzt zwei Lösungen? Das liegt einfach daran, dass die Wurzel einer komplexen Zahl i.A. nicht eindeutig ist.
Du kannst die Aufgabe natürlich auch mit der Formel (9.13) von ![[]](/images/popup.gif) hier lösen, die sich nach der Formel von de Moivre (Seite 3, kurz vor 2.3) ergibt (in 2.3 steht die Formel für die n-te Wurzel nochmal)...
Das rechne ich jetzt aber nicht mehr vor; das kannst du ja mal selber probieren. 
Viele Grüße,
Marcel
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