\wurzel{x} ableiten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:02 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Begründe die Ableitungsformel für [mm] f(x)=\wurzel{x}
[/mm]
Die Lösungen sind im Buch gleich mitgegeben.
a) Begründung mit der Fkt. der Sekantensteig.
b) Begründung mit der h-Methode |
Guten Abend,
a)
[mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] = [mm] x^\frac{1}{2} [/mm] f´(x)= [mm] \frac{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
Aber das Bidl im Buch dazu verstehe ich nicht. Warum sind da ganz viele Sekantensteigungsfunktionen eingezeichnet?
b)
[mm] \frac{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm] = [mm] \frac{\wurzel{x+h} - \wurzel{x}}{h}
[/mm]
jetzt wird der Bruch erweitert (im Buch vorgegebene Lösg.)
[mm] \frac{(\wurzel{x+h} - \wurzel{x}) * (\wurzel{x+h} + \wurzel{x})}{h*(\wurzel{x+h} + \wurzel{x})}
[/mm]
es geht jetzt nur um den Zähler. Warum wird daraus
(x+h)-x ? (der Nenner ist so geblieben)
ich erkenne die 3.te binom. Formel, aber was ich auch rumrechne, ich kriege es nicht weiter aufgelöst.
Für Hilfe vielen DANK
Sabine
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Mi 28.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Begründe die Ableitungsformel für [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm]
> Die Lösungen sind im Buch gleich mitgegeben.
> a) Begründung mit der Fkt. der Sekantensteig.
> b) Begründung mit der h-Methode
> Guten Abend,
>
> a)
>
> [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm] = [mm]x^\frac{1}{2}[/mm] f´(x)=
> [mm]\frac{1}{2\wurzel{x}}[/mm]
>
> Aber das Bidl im Buch dazu verstehe ich nicht. Warum sind
> da ganz viele Sekantensteigungsfunktionen eingezeichnet?
vielleicht hilft dir dieser ![[]](/images/popup.gif) Buchausschnitt beim Verständnis (insbes. Seite 162)
> b)
>
> [mm]\frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/mm] = [mm]\frac{\wurzel{x+h} - \wurzel{x}}{h}[/mm]
>
> jetzt wird der Bruch erweitert (im Buch vorgegebene
> Lösg.)
>
> [mm]\frac{(\wurzel{x+h} - \wurzel{x}) * (\wurzel{x+h} + \wurzel{x})}{h*(\wurzel{x+h} + \wurzel{x})}[/mm]
> es geht jetzt nur um den Zähler. Warum wird daraus
>
> (x+h)-x ? (der Nenner ist so geblieben)
> ich erkenne die 3.te binom. Formel, aber was ich auch
> rumrechne, ich kriege es nicht weiter aufgelöst.
Korrekt. Rechne das doch einfach mal aus:
[mm](\wurzel{x+h} - \wurzel{x}) * (\wurzel{x+h} + \wurzel{x})=\wurzel{x+h}*\wurzel{x+h}+\wurzel{x+h}*\wurzel{x}-\wurzel{x}*\wurzel{x+h}-\wurzel{x}*\wurzel{x}=..?[/mm]
> Für Hilfe vielen DANK
> Sabine
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Barsch,
> vielleicht hilft dir dieser
> Buchausschnitt
> beim Verständnis (insbes. Seite 162)
Hey, was für eine Überraschung: sieht aus wie mein Buch. Und? Ich habe das Buch. Ist zwar ne andere ISBN aber es sind genau die gleichen Seiten, nur die Seitenzahlen sind nicht deckungsgleich. Anyway, ich habe bei mir die Seiten gekennzeichnet, die du sagst, die ich brauche.
Morgen gehts dann mit ner Decke u. DEM Buch in Park. Studieren.
> > [mm]\frac{(\wurzel{x+h} - \wurzel{x}) * (\wurzel{x+h} + \wurzel{x})}{h*(\wurzel{x+h} + \wurzel{x})}[/mm]
>
>
> > es geht jetzt nur um den Zähler. Warum wird daraus
> > (x+h)-x ? (der Nenner ist so geblieben)
>
> > ich erkenne die 3.te binom. Formel, aber was ich auch
> > rumrechne, ich kriege es nicht weiter aufgelöst.
>
> Korrekt. Rechne das doch einfach mal aus:
auf die Idee bin ich gar nicht gekommen, weil 3 Summanden in einem Klammerausdruck sind - war mir zuviel. Aber gut, wenn du das sagst
freue ich mich, dass es dann wohl doch geht.
DANKESCHÖN vielmals.
Mal sehen, was morgen im Park bei raus kommt.
LG
Sabine
>
> [mm](\wurzel{x+h} - \wurzel{x}) * (\wurzel{x+h} + \wurzel{x})=\wurzel{x+h}*\wurzel{x+h}+\wurzel{x+h}*\wurzel{x}-\wurzel{x}*\wurzel{x+h}-\wurzel{x}*\wurzel{x}=..?[/mm]
>
>
>
> > Für Hilfe vielen DANK
> > Sabine
>
> Gruß
> barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Mi 28.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Hallo Barsch,
>
> > vielleicht hilft dir dieser
> >
> Buchausschnitt
> > beim Verständnis (insbes. Seite 162)
>
> Hey, was für eine Überraschung: sieht aus wie mein Buch.
> Und? Ich habe das Buch. Ist zwar ne andere ISBN aber es
> sind genau die gleichen Seiten, nur die Seitenzahlen sind
> nicht deckungsgleich. Anyway, ich habe bei mir die Seiten
> gekennzeichnet, die du sagst, die ich brauche.
> Morgen gehts dann mit ner Decke u. DEM Buch in Park.
> Studieren.
>
> > > [mm]\frac{(\wurzel{x+h} - \wurzel{x}) * (\wurzel{x+h} + \wurzel{x})}{h*(\wurzel{x+h} + \wurzel{x})}[/mm]
>
> >
> >
> > > es geht jetzt nur um den Zähler. Warum wird daraus
> > > (x+h)-x ? (der Nenner ist so geblieben)
> >
> > > ich erkenne die 3.te binom. Formel, aber was ich auch
> > > rumrechne, ich kriege es nicht weiter aufgelöst.
> >
> > Korrekt. Rechne das doch einfach mal aus:
>
> auf die Idee bin ich gar nicht gekommen, weil 3 Summanden
> in einem Klammerausdruck sind - war mir zuviel. Aber gut,
nein, es sind nicht 3 Sumanden. Da steht doch im Zähler:
[mm](\wurzel{x+h} - \wurzel{x}) * (\wurzel{x+h} + \wurzel{x})[/mm]
Setze [mm]a:=\wurzel{x+h}[/mm] und [mm]b:=\wurzel{x}[/mm]
Und dann hast du die 3. Binomische Formel: [mm](a-b)\cdot{(a+b)}=a^2-b^2[/mm]
> wenn du das sagst
> freue ich mich, dass es dann wohl doch geht.
>
> DANKESCHÖN vielmals.
> Mal sehen, was morgen im Park bei raus kommt.
Viel Erfolg.
Gruß
> LG
> Sabine
> >
> > [mm](\wurzel{x+h} - \wurzel{x}) * (\wurzel{x+h} + \wurzel{x})=\wurzel{x+h}*\wurzel{x+h}+\wurzel{x+h}*\wurzel{x}-\wurzel{x}*\wurzel{x+h}-\wurzel{x}*\wurzel{x}=..?[/mm]
>
> >
> >
> >
> > > Für Hilfe vielen DANK
> > > Sabine
> >
> > Gruß
> > barsch
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Do 29.03.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Barsch,
> > auf die Idee bin ich gar nicht gekommen, weil 3 Summanden
> > in einem Klammerausdruck sind - war mir zuviel Rechnerei
> nein, es sind nicht 3 Sumanden. Da steht doch im Zähler:
oh oh - ja, nein, alles klar, ich war nur wurzelblind.
> [mm](\wurzel{x+h} - \wurzel{x}) * (\wurzel{x+h} + \wurzel{x})[/mm]
Ich soll die Ableitungsformel für [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] begründen u.
hatte u.a. gefragt, warum bei der im Buch vorgegebenen Begründung mit Sekantensteigs.-Fkt. die Grafik, bzw. der Graph der Ableitg. von [mm] \wurzel{x} [/mm] noch ganz ganz viele weitere solche Graphen unter sich hat (dicker Schatten sozusagen) u. du sagtest ich soll mal ins Buch gucken.
Wo hast du das eigentl. her (mein Buch), das ist im Internet oder? Wie kommt das da hin u. wie kommst du da ran?
Buchausschnitt
Es sind ja mehrere Seiten. Ich habe vorn angefangen. Und tatsächl. sind da, wieder Fragen. Leider viele
Was heißt DGS?
Deutsche Gesellschaft für Steigung? 
(konstruiere mit dem DGS)
S. 157 Aufg. 1
a) Nein, es schafft HÖCHSTENS die Raupe, die eine Steig. bis 95% bewältigt.
Auf jeden Fall schaffen alle 3 Raupen von (0/1) aus bestimmt das erste Kästchen/Zelle nach links u. auch nach rechts.
Rechts sieht es in 2.ter u. 3.ter Zelle nach einer Steig. von ca. 1 aus. So das war jetzt nach Augenmaß. Oder wollen die das genau haben?
a) "Wenn nicht, wie weit kann jede Raupe rauffahren?"
Wenn man es exakt ausrechnen wollte, wie geht das?
[mm] f´(x)=-0,28x^3+x+0,2
[/mm]
Gradzahl in Dezimalzahl umgerechnet:
Raupe, die stärkste 90° = schafft Steig. 2
Raupe, die mittlere 70° = schafft Steig. 1,5555555
Raupe, die kleinste 50° = schafft Steig. 1,1111111
Jetzt die 3 x-Werte der linken Seite in die Ableitg. einsetz.
x=-0,5
x=-1
x=-1,5
dann erhält man 3 Steigungen der Bergstraße (von Tal zu Aspitze)
Jetzt nur noch gucken, ob die unter oder über 1,555555 sind.
Aber jetzt kommt eigentl. erst das Problem. a) "Wenn nicht, wie weit könnten sie rauffahren?"
Ich habe mit meiner Rechnerei ja nur Etappen angeschaut, aber nicht die Grenze ermittelt, wo eine Raupe stehen bleiben würde.
f'(x)=1,5555555
[mm] 1,55555=-0,28x^3+x+0,2
[/mm]
[mm] 1,35555=-0,28x^3+x
[/mm]
Aber die Gleichg. kann ich nicht lösen.
Also wollen die im Buch doch nur Augenmaß?
Frage b) möchte ich gern vereinfachen u. ändern in:
An welcher Stelle vermutest du die größte Steig.?
Versuche mit Näherungswerten f. die Steig. diese Stelle zu finden.
Ich vermute die größte Steig. der Bergstr./des Graphen um x=1 herum.
Versuche mit Näherungswerten f. die Steig. diese Stelle zu finden.
Das kann ich jetzt gar nicht.
Wie soll ich das anfangen?
Ich würde statt der 1 dann mal 1,2 oder 0,8 ausprobieren, also
f´(1,2)=
f´(0,8)=
u. so weiter rumprobieren u. gucken bei welcher der größte Fkts.wert rauskommt.
Aber das hat mit Näherungswerten doch nichts zu tun?
Ich hoffe ich darf freudig Antwort u. Hilfe erwarten!
DANKE
mfg
Sabinegl=deWenn nicht, wie weit könnten sie rauffahren?
|
|
|
| |
|
Hallo, in welchem Zusammenhang hast du "DGS" gefunden, so kann ich nicht sagen, was es bedeutet, zur Aufgabe auf Seite 157:
die Pistenraupen bewältigen folgende Steigungen, A bis 0,95, B bis 0,7, C bis 0,5
deine Antwort ist ja nur eine Vermutung, du möchtest die maximale Steigung ermitteln, die 1. Ableitung gibt den Anstieg der Funktion an, [mm] f'(x)=-0,28*x^3+x+0,2, [/mm] jetzt möchtest du den maximalen Anstieg ermitteln, also ist die 2. Ableitung gefragt [mm] f''(x)=-0,84*x^2+1, [/mm] jetzt kannst du die Stellen mit maximalen Anstieg bestimmen [mm] x_1_2=\pm\wurzel{\bruch{1}{0,84}}, [/mm] setze die Stellen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] in die 1. Ableitung ein, und bestimme jeweils den Anstieg, erst jetzt kannst du exakt entscheiden, welche Pistenraupe schafft die Auffahrt auf welchen Berg, möchtest du wissen, wie weit die Pistenraupen fahren können, so berechne die Stellen, an denen der Anstieg 0,5 bzw. 0,7 beträgt,
Steffi
|
|
|
|
