x + e^x bijektiv < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Sa 26.01.2008 | | Autor: | fvs |
| Aufgabe | | Sei f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x) = x + [mm] e^x. [/mm] Zeigen Sie, dass f bijektiv ist. |
Hallo.
Ich habe so einige kleinere Probleme mit dieser Aufgabe. Zunächst kann man ja sagen, dass x bijektiv ist und [mm] e^x [/mm] offensichtlich auch. Dann muss das aber noch nicht für die Summe der beiden gelten, oder?
Sonst komme ich leider nämlich nicht weiter. Seien m,n [mm] \in \IR [/mm] mit f(m) = f(n). Somit folgt m + [mm] e^m [/mm] = n + [mm] e^n. [/mm] Aber ich komme ich ja leider irgendwie nicht weiter und kann auf m = n schließen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Sa 26.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin fvs,
>
> Ich habe so einige kleinere Probleme mit dieser Aufgabe.
> Zunächst kann man ja sagen, dass x bijektiv ist und [mm]e^x[/mm]
> offensichtlich auch. Dann muss das aber noch nicht für die
> Summe der beiden gelten, oder?
Nein, betrachte $g+h$ fuer $g(x)=x$ und $h(x)=-x$.
Aber leite $f$ doch mal ab. Das Kriterium fuer strenge Monotonie besagt $f'(x)>0$
oder $f'(x)<0$ fuer alle $x$. Damit hast du die Injektivitaet. Die Surjektivitaet
erhaeltst du, indem du dir das Verhalten von $f$ fuer grosse bzw. kleine $x$ anschaust.
Vielleicht brauchst du noch ein Stetigkeitsargument (Zwischenwertsatz).
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Sa 26.01.2008 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Danke für die Antwort. Ich habe mir das schon gedacht, dass das nicht so einfach seinen kann.
Bestimme also die Ableitung der Funktion f(x) = x + [mm] e^x. [/mm] Es gilt also f'(x) = 1 + [mm] e^x. [/mm] Es gilt somit f'(x) > 0 für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Jetzt ist aber meine Frage: Warum folgt daraus nun die Injektivität?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Sa 26.01.2008 | | Autor: | abakus |
Definitions- und Wertebereich ist jeweils das Interval [mm] (-\infty [/mm] ; [mm] \infty), [/mm] und die Funktion ist streng monoton wachsend (und stetig). Damit hat JEDES x [mm] \in (-\infty [/mm] ; [mm] \infty) [/mm] genau ein y und umgekehrt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Sa 26.01.2008 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Also könnte man die Injektivität wie folgt zeigen.
Injektivität:
Die Funktion f(x) = x + [mm] e^x [/mm] ist als Summe stetiger Funktionen zunächst wieder stetig. Bestimme nun die Ableitung der Funktion f(x) = x + [mm] e^x. [/mm] Es gilt also f'(x) = 1 + [mm] e^x. [/mm] Es gilt somit f'(x) > 0 für alle x [mm] \in \IR. [/mm]
Die Funktion ist also streng monoton wachsend und stetig. Damit hat jedes Bild x genau ein genau ein Urbild x [mm] \in \IR.
[/mm]
So, nun ist natürlich die Frage mit der Ableitung, ob ich das verwenden darf, da wir soweit noch nicht in vorangekommen sind und dazu noch gar nichts gemacht haben....
Gibt es da vielleicht noch eine andere Variante, wie man das lösen könnte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Sa 26.01.2008 | | Autor: | SEcki |
> So, nun ist natürlich die Frage mit der Ableitung, ob ich
> das verwenden darf, da wir soweit noch nicht in
> vorangekommen sind und dazu noch gar nichts gemacht
> haben....
Habt ihr schon gemacht, dass die Exponentialfunktion monoton wachsend ist? Die Summe zweier monoton wachsender Funktionen ist wieder monoton wachsend. So geht es auch.
Desweiteren musst du noch zeigen, dass das Bild ganz [m]\IR[/m] ist, wie wurde oben schon gesagt.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 So 27.01.2008 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Dann nochmal auf Anfang ;)
Injektivität
Die Funktion f(x) = x + $ [mm] e^x [/mm] $ ist als Summe stetiger Funktionen zunächst wieder stetig. Ebenso ist f(x) als Summe zweier streng monoton wachsenden Funktionen wiederum streng monoton wachsend.
Kann mir jetzt noch einmal jemand kurz sagen, warum hieraus schon die Injektivität folgt? Warum aus Injektivität und Stetigkeit die strenge Monotonie folgt, ist mir klar. Nur die Umkehrung leider nicht...
Surjektivät
Hier stehe ich leider noch völlig auf dem Schlauch, weil ich doch eigentlich gar keine negativen Werte erhalten kann und somit wäre die Funktion ja nicht bijektiv.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 So 27.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
eine Funktion ist injektiv wenn aus x [mm] \ne [/mm] y immer auch f(x) [mm] \ne [/mm] f(y) folgt.
Sei f eine streng monotone Funktion, z.B. streng monoton wachsend, dann folgt aus x < y das auch gilt f(x) < f(y), also f(x) [mm] \ne [/mm] f(y), also ist f(x) injektiv. (Das Gleiche dann auch für x > y)
Sei f(x) = x + [mm] e^x
[/mm]
für x gegen [mm] \infty [/mm] strebt f(x) ebenfalls gegen [mm] \infty [/mm] und
für x gegen [mm] -\infty [/mm] strebt f(x) gegen [mm] -\infty
[/mm]
Da f(x) stetig ist, nimmte f(x) jeden Wert zwischen [mm] -\infty [/mm] und [mm] +\infty [/mm] an und ist somit surjektiv, also in Summe bijektiv.
Übrigens die Injektivität kann man auch so beweisen wie Du ganz am Anfang versucht hast.
[mm] m+e^m=n+e^n, [/mm] daraus folgt
[mm] (m-n)+(e^m-e^n)=0
[/mm]
Die Gleichung hat für n [mm] \ne [/mm] m keine Lösung, z.B. sei n < m, dann sind beide Summanden > 0 und somit auch die Summe und deshalb hat die Gleichung keine Lösung. Dann das Ganze nochmal mit m < n.
mfg ullim
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