x^n cos(x) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich hab schon in einem anderen Forum einen Thread aufgemacht, anscheinend hat dort keiner eine Idee. Lest ihn euch durch:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=472743
ich möchte ein Integral lösen, das mir Kopfzerbrechen bereitet:
[mm] \int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^n \cos(x) [/mm] dx für n [mm] \in \mathbb [/mm] N
Was man zunächst sagen kann, ist, dass nur gerade n in Frage kommen, denn für ungerade n ist die Funktion ungerade und das Integral somit 0.
Sei n also gerade. Dann erhalten wir
[mm] \int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^n \cos(x) [/mm] dx = [mm] [x^n \sin(x)]_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} [/mm] + n [mm] [x^{n-1} \cos(x)]_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} [/mm] -n(n-1) [mm] \int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^{n-2}\cos(x)dx [/mm]
nach zweimaliger partieller Integration.
Es entstehen also zwei Summen, einmal mit sin und einmal mit cos als Faktor.
Die Summe mit cos interessiert uns aber nicht, da dieser beim Einsetzen der Grenzen 0 wird.
Was übrig bleibt, ist also folgende Summe:
[mm] \sin(x)\sum_{k=0}^\frac{n}2 x^{n-2k} \frac{n!}{(n-2k)!}(-1)^k \bigg|_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}=2\sin(x)\sum_{k=0}^\frac{n}2 x^{n-2k} \frac{n!}{(n-2k)!}(-1)^k \bigg|_0^{\frac{\pi}2}=2n!\sum_{k=0}^\frac{n}2 \left(\frac{\pi}2\right)^{n-2k} \frac1{(n-2k)!}(-1)^k
[/mm]
Stimmt das schon mal und wie kann ich nun die Summe vereinfachen?
Das sieht wohl nach dem Taylorpolynom n-ten Grades von [mm] (-1)^{\frac n2}\cos(x) [/mm] an der Stelle [mm] \frac{\pi}2 [/mm] aus. (Entwicklungsstelle 0)
Vielleicht wisst ihr irgendwie weiter.
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> Ich hab schon in einem anderen Forum einen Thread
> aufgemacht, anscheinend hat dort keiner eine Idee. Lest ihn
> euch durch:
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> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=472743
>
> Vielleicht wisst ihr irgendwie weiter.
du willst eine antwort, aber machst dir nicht mal die mühe strg+c, strg+v zu verwenden ? schon ein bisschen seltsam .. andere machen sich für dich immerhin auch mühe ..
LG Scherzkrapferl
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Alles klar,
ich hab hier auf matheraum nur irgendwas Eigenartiges in Erinnerung gehabt, dass man eine Frage nicht bereits in einem anderen Forum gepostet haben darf. Egal, hier also nun:
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sicherlich kannst du das auch machen. habe mich schlecht ausgedrückt - sorry. ich meinte mit strg+c , strg+v dass es nett wäre wenn du wenigstens bisschen was hin schreibst im sinne von "ganz ganz kurze einleitung/was dein problem ist". - also nicht böse nehmen ;) war schlecht formuliert
übrigens: kennst du wolframalpha.com ? sehr nette HP wo du bei den meisten integrationen (und auch anderen sachen) auch die einzelnen schritte anzeigen lassen kannst. hilft mir persönlich immer sehr viel, wenn ich wo hänge. (zb: kompliziertere umformungen)
wobei das in deinem fall (habs dir mal eingetippt: http://www.wolframalpha.com/input/?_=1320950939770&i=integrate+x%5en+cos%28x%29+from+%28-pi%2f2%29+to+%28pi%2f2%29&fp=1&incTime=true) wahrscheinlich nichts gebracht hätte, da die schritte nicht angezeigt werden können. trotzdem ein erwähnenswertes werkzeug.
reverend hat die antwort schon parat gehabt bevor ich's durchgerechnet hatte - kein fehler zu finden :)
LG scherzkrapferl
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Hallo TommyAngelo,
vorab: Du darfst hier natürlich etwas posten, das du auch woanders gepostet hast oder dort noch posten willst. Wir möchten das nur wissen, einfach, damit sich niemand unnötig doppelt Arbeit macht.
Mal eine ganz knappe Antwort zur Frage:
Das sieht komplett richtig aus. Es ist auch nichts weiter zu vereinfachen.
Grüße
reverend
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Danke für die schnelle Antwort!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab schon in einem anderen Forum einen Thread
> aufgemacht, anscheinend hat dort keiner eine Idee. Lest ihn
> euch durch:
>
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=472743
>
> ich möchte ein Integral lösen, das mir Kopfzerbrechen
> bereitet:
>
> [mm]\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^n \cos(x)[/mm] dx für n [mm]\in \mathbb[/mm]
> N
>
> Was man zunächst sagen kann, ist, dass nur gerade n in
> Frage kommen, denn für ungerade n ist die Funktion
> ungerade und das Integral somit 0.
>
> Sei n also gerade. Dann erhalten wir
>
> [mm]\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^n \cos(x)[/mm] dx = [mm][x^n \sin(x)]_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}[/mm]
> + n [mm][x^{n-1} \cos(x)]_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}[/mm] -n(n-1)
> [mm]\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^{n-2}\cos(x)dx[/mm]
>
> nach zweimaliger partieller Integration.
>
> Es entstehen also zwei Summen, einmal mit sin und einmal
> mit cos als Faktor.
> Die Summe mit cos interessiert uns aber nicht, da dieser
> beim Einsetzen der Grenzen 0 wird.
> Was übrig bleibt, ist also folgende Summe:
>
> [mm]\sin(x)\sum_{k=0}^\frac{n}2 x^{n-2k} \frac{n!}{(n-2k)!}(-1)^k \bigg|_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}=2\sin(x)\sum_{k=0}^\frac{n}2 x^{n-2k} \frac{n!}{(n-2k)!}(-1)^k \bigg|_0^{\frac{\pi}2}=2n!\sum_{k=0}^\frac{n}2 \left(\frac{\pi}2\right)^{n-2k} \frac1{(n-2k)!}(-1)^k[/mm]
>
Wo kommt denn diese Summe her ????? Du hattest doch:
[mm]\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^n \cos(x)[/mm] dx = [mm][x^n \sin(x)]_{\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}[/mm] + n [mm][x^{n-1} \cos(x)]_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}[/mm] -n(n-1) [mm]\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^{n-2}\cos(x)dx[/mm]
Mit [mm] sin(\frac{\pi}2)=1 [/mm] bekommst Du
[mm]\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^n \cos(x)[/mm] dx = [mm] 2(\bruch{\pi}{2})^n [/mm] -n(n-1) [mm]\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^{n-2}\cos(x)dx[/mm]
FRED
> Stimmt das schon mal und wie kann ich nun die Summe
> vereinfachen?
>
> Das sieht wohl nach dem Taylorpolynom n-ten Grades von
> [mm](-1)^{\frac n2}\cos(x)[/mm] an der Stelle [mm]\frac{\pi}2[/mm] aus.
> (Entwicklungsstelle 0)
>
>
> Vielleicht wisst ihr irgendwie weiter.
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Ja, so hat man es rekursiv dargestellt. Jetzt hat man rechts wieder fast dasselbe Integral wie links dastehen, nur n-2 statt n.
Das ergibt dann:
[mm] 2(\bruch{\pi}{2})^n -n(n-1)\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^{n-2}\cos(x)dx [/mm] = [mm] 2(\bruch{\pi}{2})^n -n(n-1)\left(2(\bruch{\pi}{2})^{n-2} -(n-2)(n-3)\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^{n-4}\cos(x)dx\right)
[/mm]
usw.
So kommt man auf die Summe.
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