x^x für negative Werte < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 So 04.06.2006 | | Autor: | mateusz |
Hallo. Ich bin neulich eher zufällig auf die Funktion [mm] x^x [/mm] gestoßen. Für
x ∈ [mm] \IR+ [/mm] ist die Funktion einfach zu bestimmen. Auch wenn sie nicht
für x ∈ [mm] \IR- [/mm] definiert ist (aufgrund der Schreibweise [mm] e^{x\cdot{}\ln(x)}, [/mm] die für die Ableitung benutzt wird), gibt es doch einige bestimmbare Werte (z.B. x= -1 ⇒ y=-1). Meine Überlegung war jetzt eben diese Werte durch eine (oder zwei, wegen der positiven Lösungen(TR)) Hüllkurve(n) zu beschreiben. Es ist klar, dass für -x [mm] \to \infty [/mm] die Hüllkurve die x-Achse als Asyptote hat. Nur irgendwie brauche ich Starthilfe bei der Funktionsbestimmung.
Danke im Vorraus
Mateusz
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Hallo,
das ist ja gar nicht so schwer wie es auf den ersten Blcik aussehen mag.
Ich wüsste nicht, warum man die Funktion nicht für irrationale Zahlen nicht definieren dürfte.
Das Argument mit der Ableitung bedeutet nur, dass die Funktion nicht differenzierbar ist, zurecht, denn sie ist ziemlich zerfurcht.
Aber wenn man sie sich mal genauer ansieht, dann ist sie nur an abzählbar vielen Stellen nicht definiert, denn:
Irrationale Zahlen sind kein Problem, nur bei rationalen Zahlen taucht ab und zu ein Problem auf, denn dann gilt für x = [mm] \bruch{-m}{n}, m,n\in\IN:
[/mm]
[mm] x^x [/mm] = [mm] (\bruch{-m}{n})^\bruch{-m}{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{(\bruch{-m}{n})^m}}
[/mm]
Ist nun zufällig n gerade und m ungerade, dann versuchen wir, eine Wurzel geraden Grades aus einer negativen Zahl zu ziehen, was ja in [mm] \IR [/mm] nicht geht.
In allen anderen Fällen können wir getrost schreiben:
[mm] x^x [/mm] = [mm] -(-x)^x
[/mm]
Diese Beziehung gilt dann für alle Fälle außer für rationale [mm] x=\bruch{-m}{n} [/mm] mit m ungerade und n gerade.
Also ergibt [mm] -(-x)^x [/mm] eine schöne Hüllkurve.
Gruß
Martin
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