z.z.Binominialkoef. aus N < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 So 08.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo zusammen,
ich versuche seit ca. fast 2 Stunden zu beweisen, dass der
Binominialkoeffizient nur Ergebnisse aus [mm] \IR [/mm] erzeugt.
Wie geht das?
Ich habe diverse Umformungen gemacht, kann aber nie richtig kürzen.
Weiss nicht wie.... Induktion kommt mir hier irgendwie komisch vor, aber vielleicht versuchs ich doch mal damit.
Danke & Gruß Sebastian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 So 08.05.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo Sebastian,
das hängt aber vom Definitionsbereich ab: $ [mm] \vektor{i \\ 1}=i\; \in\IC$.
[/mm]
Wenn Du den Binomialkoeffizienten jedoch nur mit reellen Zahle "fütterst", wo soll denn da was komplex werden? [mm] $(\IR,+,*)$ [/mm] ist doch ein Körper.
Alles Gute,
Peter
P.S.: Sehe jetzt erst, dass dein Betreff [mm] $\IN$ [/mm] enthält, der Text aber [mm] $\IR$.
[/mm]
Da darfst Du eben nur "Naturfutter" geben (um beim obigen Bild zu bleiben.
$ [mm] \vektor{n \\ k}=n(n-1)\ldots(n-k+1) ,\;n,k\in\IN$ [/mm] impliziert doch ziemlich offensichtlich, dass [mm] $\vektor{n \\ k}\in\IN_0$. [/mm] also lässt sich die Behauptung, dass der Binomialkoeffizient nur Werte aus [mm] $\IN$ [/mm] liefert, (knapp) nicht halten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 So 08.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
Ganz sooo trivial ist es wohl nicht: es ist wohl gemeint, daß mit den Binomialkoeffizienten immer ein Zahl aus [mm] $\red{\IN}$ [/mm] ergibt (siehe Fragen-Überschrift).
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 So 08.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sebastian!
Ist deine Frage so gemeint wie von Thorsten interpretiert (und davon gehe ich aus), dann gibt es im Wesentlichen zwei Möglichkeiten sie zu lösen.
1.) Zeige die Behauptung über vollständige Induktion nach $n$ (für [mm] $0\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$), indem du die Beziehung
${n [mm] \choose [/mm] k} = {{n-1} [mm] \choose [/mm] {k-1}} + {{n-1} [mm] \choose [/mm] k}$
für $1 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] n$ durch eine direkte Rechnung verifizierst.
2.) Zeige per vollständiger Induktion nach $n$, dass die Anzahl der $k$-elementigen Teilmenge einer $n$-elementigen Menge gleich ${n [mm] \choose [/mm] k}$ ist, woraus unmittelbar die Behauptung folgt.
Viele Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
da ich zunächst immer vorsichtshalber faul bin, wähle ich doch lieber die direkte Methode und beweise (in diesem Fall: wiederlege) die Behauptung direkt aus der Definition. Wieso muss erst eine Eigenschaft des BK nachgewiesen werden? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Befreie mich bitte von den roten Wasserbeutelfrüchten auf meinen Augen!
Liebe Grüße,
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Peter!
Wie würdest du denn direkt aus der Definition die Behauptung
${n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \in \IN$ [/mm] für alle [mm] $n,\,k \in \IN$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$
zeigen? Ich denke das wird schwierig. Meine beiden kleinen Ansätze dagegen sind mehr oder weniger dreizeilige kleine Induktionen.
Beachte bitte, dass du ja etwas anderes gezeigt hast (was direkt aus der Definition folgt, da [mm] $\IR$ [/mm] ein Körper ist), nämlich ${x [mm] \choose [/mm] k} [mm] \in \IR$ [/mm] für $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Vielleicht sollte der Fragesteller mal präzisieren, was er eigentlich wissen will, da Überschrift und Artikeltext inkompatibel sind. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Mo 09.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hi es geht.
Zuerst zeigst du bei n=k kommt immer 1 raus [mm] \in \IN
[/mm]
Dann sagst Du der rechte untere Teil im Nenner kürtzt sich immer mit dem Zähler (dort bleibt halt ein Rest - is ja egal..
Bleibt im Nenner k!.
Jetzt machst du den Induktionsschritt.... in dem du im Zähler mit k multiplizierst.
Und da ja eine natürliche Zahl * k wieder natürliche Zahl.
Q.E.D.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sebastian!
Ah, ich verstehe. Okay, das ist schön und ich habe was dazugelernt. Ich wusste bisher nicht, dass man das so einfach über Induktion direkt zeigen kann. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
> Hallo Peter!
>
> Wie würdest du denn direkt aus der Definition die
> Behauptung
>
> [mm]{n \choose k} \in \IN[/mm] für alle [mm]n,\,k \in \IN[/mm], [mm]0 \le k \le n[/mm]
>
> zeigen? Ich denke das wird schwierig. Meine beiden kleinen
> Ansätze dagegen sind mehr oder weniger dreizeilige kleine
> Induktionen.
Lieber Stefan,
0.) es war vieleicht ein Fehler, auf den Betreff der Originalfrage erst im post scriptum einzugehen, aber ich wollte nicht alles neu schreiben. Ausserdem führt die (abschreckende?) Lektüre dieses Stranges vieleicht dazu, dass die Fragenden sich um präzisere Formulierungen bemühen - was zu
1.) führt: da es seit Äonen ![[]](/images/popup.gif) widersprüchliche Definitionen von [mm] $\IN$ [/mm] gibt, sollte diese Bezeichnung standrechtlich erschossen und durch positive Zahlen [mm] $(\IZ^+)$ [/mm] oder nichtnegative Zahlen [mm] $(\IN_0$ [/mm] oder konsequenter [mm] $Z_{0}^{+}$) [/mm] ersetzt werden.
>
> Beachte bitte, dass du ja etwas anderes gezeigt hast (was
> direkt aus der Definition folgt, da [mm]\IR[/mm] ein Körper ist),
> nämlich [mm]{x \choose k} \in \IR[/mm] für [mm]x \in \IR[/mm].
>
Weil ich bei Lektüre der Frage den Betreff aus dem Gedächtnis verloren habe...
> Vielleicht sollte der Fragesteller mal präzisieren, was er
> eigentlich wissen will, da Überschrift und Artikeltext
> inkompatibel sind.
>
> Liebe Grüße
> Stefan
>
2.) Meine Erläuterung enthält ja implizit den Induktionsschritt von baddi. Produkt zweier nichtnegativer Zahlen ist nicht negativ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Produkt von k nichtnegativen Zahlen [mm] ($k\ge [/mm] 2$) ebenso. Deshalb verstehe ich Deine Antwort leider immer noch nicht (Es handelt sich offenbar eher um Melonen denn um Tomaten auf meinen Augen...). Irgendwie beginnt mir das Ganze langsam sch...ön egal zu werden.
Liebe Grüße,
Peter
P.S.: diesmal kein P.S. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]"){kind=small}
![[ballon]](/images/smileys/ballon.gif "[ballon]"){kind=small}
