z.z. ist Hausdorffraum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein topologischer Raum ist genau dann ein Hausdorffraum wenn [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X die Menge {x} der Durschnitt aller abgeschlossenen Umgebungen von x ist. |
Hallo,
Wiedermal ein mühsames Topologie Beispiel - die nahende Analysis III Prüfung veranlasst mich viele Beweise zum Thema Topologie zu posten...
Dann beginne ich also mal:
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] X , y [mm] \in [/mm] X , wobei x [mm] \neq [/mm] y: nun folgt aus der hausdorffschen Eigenschaft: [mm] \exists O_{x}, O_{y} [/mm] mit [mm] O_{x} \cap O_{y} [/mm] = [mm] \emptyset. \Rightarrow O_{x}\subseteq O_{y}^{c} [/mm] für alle y [mm] \in [/mm] X. Anzumerken sei: [mm] O_{y}^{c} [/mm] ist somit natürlich abg. Umgebung von x.
[mm] \Rightarrow [/mm] {x} [mm] \subseteq O_{y}^{c}[/mm] [mm]\forall y \in X [/mm][mm] \Rightarrow [/mm] {x} = [mm] \bigcap_{y \in X}O_{y}^{c} \Rightarrow \bigcap_{y \in X}O_{y}^{c} \supseteq \bigcap A_{i} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in A_{i} [/mm] und damit klar: [mm] \bigcap A_{i} [/mm] = {x}.
Anmerkung: [mm] A_{i} [/mm] ...abgeschlossene Umgebung von x.
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
{x} = [mm] \bigcap A_{i}[/mm] [mm]\forall y \in X[/mm] mit x [mm] \neq [/mm] y gilt nun: y [mm] \not\in A_{i} \Rightarrow \exits A_{i} [/mm] mit y [mm] \not\in A_{i} [/mm] und somit [mm] A_{i}^{c} [/mm] offen. y [mm] \in A_{i}^{c} [/mm] somit ist [mm] A_{i}^{c} [/mm] Umgebung von y. [mm] \Rightarrow A_{i} \cap A_{i}^{c} [/mm] = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] hausdorffsch.
Gibt es Einwände von eurer Seite?
Danke im Voraus
Gruß
Thomas
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Hallo,
> Ein topologischer Raum ist genau dann ein Hausdorffraum
> wenn [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X die Menge {x} der Durschnitt aller
> abgeschlossenen Umgebungen von x ist.
> Hallo,
>
> Wiedermal ein mühsames Topologie Beispiel - die nahende
> Analysis III Prüfung veranlasst mich viele Beweise zum
> Thema Topologie zu posten...
Dein Beweis ist richtig und ich bin mir auch sicher, dass du überall das richtige meinst.
Allerdings ist es nicht so gut verständlich aufgeschrieben.
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
>
> Sei x [mm]\in[/mm] X , y [mm]\in[/mm] X , wobei x [mm]\neq[/mm] y: nun folgt aus der
> hausdorffschen Eigenschaft: [mm]\exists O_{x}, O_{y}[/mm] mit [mm]O_{x} \cap O_{y}[/mm]
> = [mm]\emptyset. \Rightarrow O_{x}\subseteq O_{y}^{c}[/mm] für alle
> y [mm]\in[/mm] X.
Besser:
Sei $x [mm] \in [/mm] X$ fest.
Für jedes $y [mm] \in [/mm] X, y [mm] \not=x [/mm] $ gibt es nach Hausdorff offene Mengen [mm] $O_y, O_{x,y}$ [/mm] mit $y [mm] \in O_y, [/mm] x [mm] \in O_{x,y}$ [/mm] und [mm] $O_{y} \cap O_{x,y}$.
[/mm]
Bei dir kommt nicht raus, dass es für jedes y ANDERE offene Mengen geben kann...
> Anzumerken sei: [mm]O_{y}^{c}[/mm] ist somit natürlich
> abg. Umgebung von x.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] {x} [mm]\subseteq O_{y}^{c}[/mm] [mm]\forall y \in X[/mm][mm] \Rightarrow[/mm]
> {x} = [mm]\bigcap_{y \in X}O_{y}^{c} \Rightarrow \bigcap_{y \in X}O_{y}^{c} \supseteq \bigcap A_{i} \Rightarrow[/mm]
Hier sollte nach der ersten Gleichung kein [mm] $\Rightarrow$ [/mm] stehen. Das zweite folgt doch gar nicht aus dem ersten.
Besser:
Es ist $x [mm] \in \bigcap_{A \mbox{abg. Umgebung von }x}A \subset \bigcap_{y \in X}O_{y}^{c} [/mm] = [mm] \{x\}$,
[/mm]
also
[mm] $\bigcap_{A \mbox{abg. Umgebung von }x}A [/mm] = [mm] \{x\}$.
[/mm]
> x [mm]\in A_{i}[/mm] und damit klar: [mm]\bigcap A_{i}[/mm] = {x}.
> Anmerkung: [mm]A_{i}[/mm] ...abgeschlossene Umgebung von x.
Damit ist nicht klar, dass der Schnitt oben über alle abgeschlossenen Umgebungen gebildet wird.
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
Seien $x,y [mm] \in [/mm] X$ beliebig, mit $x [mm] \not= [/mm] y$. Das sollte am Anfang stehen!
Auch hier wieder sind diese Schnitte über [mm] A_i [/mm] so wie es dasteht, unsauber.
> {x} = [mm]\bigcap A_{i}[/mm] [mm]\forall y \in X[/mm] mit x [mm]\neq[/mm] y gilt
> nun: y [mm]\not\in A_{i} \Rightarrow \exists A_{i}[/mm] mit y [mm]\not\in A_{i}[/mm]
> und somit [mm]A_{i}^{c}[/mm] offen. y [mm]\in A_{i}^{c}[/mm] somit ist
> [mm]A_{i}^{c}[/mm] Umgebung von y. [mm]\Rightarrow A_{i} \cap A_{i}^{c}[/mm]
> = [mm]\emptyset \Rightarrow[/mm] hausdorffsch.
OK.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Do 27.06.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Super danke,
Ja du hast recht ich hätte es natürlich ein bisschen ausführlicher aufschreiben sollen. Allerdings habe ich in den letzten Tagen ungefähr 25 Beweise zu Topologie gemacht und es ist teilweise ermattend ;)
Lg und nochmals danke
Thomas
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