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kann mir jemand mit folgender aufgabe helfen,
Drei Zahlen, deren Summe 39 ist, seien die ersten 3 glieder a1, a2 und a3 einer geometrischen Zahlenfolge. Vermindert man die größte der 3 Zahlen um 9, so entstehen die ersten 3 Gleider einer arithmetischen Zahlenfolge. Ermitteln Sie die ersten 3 Glieder dieser geometsichen und der arithmetischen Zahlenfolge! Wie heißen die beiden Bildungsgesetze?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Jaques,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> kann mir jemand mit folgender aufgabe helfen,
Du darfst auch mit einem freundlichen Gruß beginnen.
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> Drei Zahlen, deren Summe 39 ist, seien die ersten 3 glieder
> a1, a2 und a3 einer geometrischen Zahlenfolge. Vermindert
> man die größte der 3 Zahlen um 9, so entstehen die ersten 3
> Gleider einer arithmetischen Zahlenfolge. Ermitteln Sie die
> ersten 3 Glieder dieser geometsichen und der arithmetischen
> Zahlenfolge! Wie heißen die beiden Bildungsgesetze?
Es wäre schön gewesen, wenn du auch deine bisherigen Überlegungen angegeben hättest. Ich weiß deswegen nicht so genau, wo dein Problem liegt.
Aber du bist ja noch recht neu hier. Deswegen einige Lösungsansätze.
Die erste Bedingung gibt dir die Gleichung
[mm] a_1+ a_1\cdot q + a_1 \cdot q^2\ =\ 39 [/mm]
Jetzt wird das 3. Folgenglied um 9 verrringert, und wird ein Glie einer arithmetischen Folge. Gehe einfach erstmal davon aus, dass es das dritte Glied wird. (Aus der Aufgabenstellung geht das nicht genau hervor, aber die anderen Möglichkeiten kannst du ja anschließend noch durchgehen). Die sich daraus ergebende Gleichung findest du?
Außerdem weißt du ja auch dass die Summe um 9 kleiner geworden ist. Die Summe der ersten drei Glieder der arithmetischen Folge ist also 30.
Gruß
Sigrid
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Mi 04.05.2005 | | Autor: | ckwon |
Hi!
Nette Aufgabe!
Also:
Sei die ersten drei Glieder von Folge 1 (geometrisch) gebildet durch:
a0; a1=a0*q; a2=a0*q*q
Die zweite Folge:
b0; b1=b0+d; b2=b0+2d
Fall 1: Die Folge 1 ist wachsend.
Dann ist a2 der größte Summand und es gilt:
b0=a0
b1=a1
b2=a2-9
bzw. (einsetzen der Bildungsgesetze)
(I)b0=a0
(II)b0+d=a0*q
(III)b0+2d=a0*q*q-9
(I)in(II): a0+d=a0*q
=> d=a0*(q-1)
Dies in (III): a0*q*q-9=a0+2*a0*(q-1)
Umstellen: a0*(q*q-2q+1)=9
[mm] Also:a0=\bruch{9}{(q-1)^{2}} [/mm] (*)
Nun benutzen wir die Angabe, dass die Summe a0+a1+a2=39:
a0*(1+q+ [mm] q^{2}) [/mm] =39
mit (*):
[mm] \bruch{9}{(q-1)^{2}} [/mm] * (1+q+ [mm] q^{2}) [/mm] =39
<=> 9*(1+q+ [mm] q^{2})= [/mm] 39 * [mm] (q-1)^{2}
[/mm]
<=>30 [mm] q^{2} [/mm] - 87q +30 =0
<=> [mm] q^{2} [/mm] - 2,9q + 1 = 0
Lösungen: q=2,5 und q=0,4
q=0,4 widerspricht der Annahme das die Folge wachsend ist:
q=2,5 liefert als Folge: 4;10;25 (Gesetz an=4* [mm] 2,5^{n} [/mm] )
Die zweite Folge ist dementsprechend 4;10;16 (Gesetz bn=4+6n)
Fall 2: Folge 1 ist fallend liefert für Folge 1: 25;10;4 (Gesetz an=25* [mm] 0,4^{n} [/mm] )
Folge 2: 16;10;4 (Gesetz bn=16+(-6)n)
Dies müssten hoffentlich alle Lösungen sein.
Gruß,
Christian
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