ziehen ohne zurücklegen urne < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Eine Urne enthält 9 kugeln, darunter 5 schwarze. Es werden 4 Kugeln ohne zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 2 der gezogenen Kugel schwarz. |
also wie ich an die aufgabe ran gegangen bin...
ich habe zuerst das baumdiagramm (4 stufen) da n = 4 ist gezeichnet und zwar sind die möglichkeiten der Ziehungen, so dass E eintritt
1) s s w w, s r s r , srrs, rrss, rsrs, rssr
also 6 MÖGLichkeiten, da bei jedem zug eine Kugel wenihger ist verändert sich die wahrscheinkuichkeit, das heisst es kann nichts mit binominalverteilung gearbeitet werden. oder?
so
und P wäre die wahrscheinlichkeit von jedem der Ereignisse summiert.
also ss ww wäre.... 5/9 *1/2 * 4/7 * 3/6 = 0.79 = 7.9 %
so und das mit allen anderen Möglichkeiten und addieren oder? ich komme auf rund 41,4 %
aber diese methode ist viel zu umfangreich, gibt es keine leichtere? doch natürlich...aber wie kann ich es kürzer machen? ausserdem ist es ganz leicht sich hierbei zu verrechnen auch....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Mi 26.08.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> also wie ich an die aufgabe ran gegangen bin...
> ich habe zuerst das baumdiagramm (4 stufen) da n = 4 ist
> gezeichnet und zwar sind die möglichkeiten der Ziehungen,
> so dass E eintritt
> 1) s s w w, s r s r , srrs, rrss, rsrs, rssr
> also 6 MÖGLichkeiten, da bei jedem zug eine Kugel
> wenihger ist verändert sich die wahrscheinkuichkeit, das
> heisst es kann nichts mit binominalverteilung gearbeitet
> werden. oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig, aber du kannst mit Binomialkoeffizienten arbeiten.
> so
> und P wäre die wahrscheinlichkeit von jedem der Ereignisse
> summiert.
> also ss ww wäre.... 5/9 *1/2 * 4/7 * 3/6 = 0.79 = 7.9 %
> so und das mit allen anderen Möglichkeiten und addieren
> oder? ich komme auf rund 41,4 %
> aber diese methode ist viel zu umfangreich, gibt es keine
> leichtere? doch natürlich...aber wie kann ich es kürzer
> machen? ausserdem ist es ganz leicht sich hierbei zu
> verrechnen auch....
Das stimmt, dein Rechenweg ist umständlich - und zudem hast du dich verrechnet. Die Zahlen stimmen, aber 41,4% ist nicht richtig.
Nun zur Lösung: Du hast $n=9$ Kugeln, davon sind 5 schwarz und 4 "anders". Unter den 4 gezogenen Kugeln sollen genau 2 Stück schwarz sein, d.h. die beiden anderen müssen aus der zweiten Gruppe stammen.
Wieviele Möglichkeiten gibt es nun aus 5 Kugeln genau 2 zu ziehen? "5 über 2"-viele: [mm] $\vektor{5 \\ 2}$. [/mm] Die gleiche Überlegung für die zwei anderen Kugeln. Also insgesamt gibt es [mm] $\vektor{5 \\ 2}\cdot\vektor{4 \\ 2}$ [/mm] Möglichkeiten.
Die Wahrscheinlichkkeit ergibt sich, indem du den Ausdruck durch die Zahl aller möglichen Kombinationen von $k=4$ Kugeln aus 9 teilst:
[mm] $\frac{\vektor{5 \\ 2}\cdot\vektor{4 \\ 2}}{\vektor{9 \\ 4}}$.
[/mm]
Das ist die "Hypergeometrische Verteilung" und funktioniert übrigens wie beim Lotto, denn beim Lotto werden $k=6$ (bzw. 7 <- Zusatzzahl) aus $n=49$ gezogen.
Lieben Gruß,
zetamy
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mm danke erstmal
aber ich versteh das mit 4 über 2 nicht und 5 über 2 wieso kommt das mit in die rechnung......5 über 2 bedeutet dass ich aus 5 kugeln ja 2 richtige ziehe, dass kann ich grade noch so verstehen aber 4 über 2?? die frage ist ja mit welcher wahrscheinlichkeit 2 der gezogenen kugeln schwarz sind.........
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Hallo alex12456,
> mm danke erstmal
> aber ich versteh das mit 4 über 2 nicht und 5 über 2
> wieso kommt das mit in die rechnung......5 über 2 bedeutet
> dass ich aus 5 kugeln ja 2 richtige ziehe, dass kann ich
> grade noch so verstehen aber 4 über 2?? die frage ist ja
> mit welcher wahrscheinlichkeit 2 der gezogenen kugeln
> schwarz sind.........
>
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) MathePrisma
Der von zetamy angegebene Bruch ist die Berechnung nach der Regel:
[mm] $$\bruch{\text{Anzahl günstige Möglichkeiten}}{\text{alle Möglichkeiten}}$$
[/mm]
[mm] \vektor{4\\2} [/mm] beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Kugeln von den vier "anderen" zu entnehmen.
Gruß informix
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