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| Aufgabe | Zeige:
[mm] z^{n}-1=(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+...+ [/mm] z+1) |
hallo!
es geht um obige aufgabe: ich würde nun versuchen durch polynomdivision der linken seite auf den zweiten faktor der rechten seite zu kommen...darf man das so machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Mo 14.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeige:
> [mm]z^{n}-1=(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+...+[/mm] z+1)
> hallo!
>
> es geht um obige aufgabe: ich würde nun versuchen durch
> polynomdivision der linken seite auf den zweiten faktor der
> rechten seite zu kommen...darf man das so machen?
Ja.
Es ist allerdings weniger aufwändig, wenn du das Produkt auf der rechten Seite bildest.
Das sieht nur kompliziert aus. Alle Summanden bis auf [mm] z^n [/mm] und -1 heben sich auf.
Viele Grüße
Abakus
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danke für deine antwort!
ich habs auch mit ausmultiplizieren versucht..aber ich hatte irgendwie immer nen [mm] z^2 [/mm] über...magst du mir den nächsten rechenschritt hier reinschreiben?
wär super
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Hallo Fuchsschwanz,
dann hast du dich verrechnet 
Ich multipliziere zuerst mit z lang durch und dann mit -1
Also [mm] $(\red{z}\blue{-1})(z^{n-1}+z^{n-2}+z^{n-3}+.....+z^3+z^2+z+1)=\red{z}z^{n-1}+\red{z}z^{n-2}+\red{z}z^{n-3}+....+\red{z}z^3+\red{z}z^2+\red{z}z+\red{z}\cdot{}1\blue{-1}z^{n-1}\blue{-1}z^{n-2}\blue{-1}z^{n-3}\blue{-.....}\blue{-1}z^{3}\blue{-1}z^{^2}\blue{-1}z\blue{-1}\cdot{}1$
[/mm]
[mm] $=\underbrace{\green{z^n}}_{\text{der allererste Summand von oben}}+\red{(z^{n-1}+z^{n-2}+.....+z^2+z)}-\blue{(z^{n-1}+z^{n-2}+.....+z^2+z)}\underbrace{\green{-1}}_{\text{der allerletze Summand von oben}}$
[/mm]
[mm] $=\green{z^n-1}$
[/mm]
Es heben sich also alle Summanden bis auf den ersten [mm] (z^n) [/mm] und den letzten (-1) gegeneinander auf
LG
schachuzipus
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danke war zu blöd zum rechnen^^
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hab doch noch ne frage zum ausmultiplizieren..du lässt da dann doch einige elemente weg beim subtrahieren? Darf man das weil das halt e nicht endet und wenn man [mm] z^n-4 [/mm] dazunehmen würde und [mm] z^4 [/mm] wieder was anderes wegfallen würde??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Di 15.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hab doch noch ne frage zum ausmultiplizieren..du lässt da
> dann doch einige elemente weg beim subtrahieren?
Wieso? Da heben sich welche gegenseitig auf!
> Darf man
> das weil das halt e nicht endet und wenn man [mm]z^n-4[/mm]
> dazunehmen würde und [mm]z^4[/mm] wieder was anderes wegfallen
> würde??
Ich schreibe es mal mit dem Summenzeichen (Substitution bzw. Indexshift mit $m=k+1$):
[mm] $(z-1)*\sum_{k=0}^{k=n-1}z^k=\left(z*\sum_{k=0}^{k=n-1}z^k\right)-\sum_{k=0}^{k=n-1}z^k=\left(\sum_{k=0}^{k=n-1}z*z^{k}\right)-\sum_{k=0}^{n-1}z^k$
[/mm]
[mm] $=\left(\sum_{k=0}^{k=n-1}z^{k+1}\right)-\sum_{k=0}^{n-1}z^k=\left(\sum_{m=1}^{m=n}z^m\right)-\sum_{k=0}^{k=n-1}z^k$
[/mm]
[mm] $=\left(\left[\underbrace{\blue{\sum_{m=1}^{m=n-1}z^m}}_{=:S}\right]+z^n\right)-\left[z^0+\blue{\sum_{k=1}^{k=n-1}z^k}\right]=\blue{S}+z^n-z^0-\blue{S}=z^n-1$
[/mm]
Wenn Dir das zu kompliziert erscheint oder Du die Rechnung oben von Schachuzipus nicht verstehst bzw. nicht nachvollziehen kannst, dann probiere doch mal, das ganze z.B. mit einem konkreten $n$, meinetwegen $n=7$, nachzurechnen. Denn wenn Du die Rechnung für $n=7$ verstehst, sollten Dir die einzelnen Schritte keine Probleme bereiten...
Gruß,
Marcel
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Hallo Fuchsschwanz,
noch ne Idee, die Aufgabe schnell zu lösen, ist folgende:
Wenn ihr schon die Formel für die endliche geometrische Reihe hattet:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^mz^k=\frac{1-z^{m+1}}{1-z}=\frac{z^{m+1}-1}{z-1}$
[/mm]
Da musst du nur die obere Grenze der Summe anpassen und eine Umformung machen..
LG
schachuzipus
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