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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 20:48 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Sigrid |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hanno sucht eine Aufgabe zur Geometrie. Wie wäre es mit der folgenden. Sie wurde bei der 2. IMO-Auswahlklausur 1998 gestellt.
Man beweise: In einem Dreieck ABC sind die Aussagen
[mm]\alpha[/mm] = 2[mm]\beta [/mm] und [mm] a^2 [/mm] = b(b+c)
äquivalent.
Ran ans Vergnügen
Gruß Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Mo 20.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
hallo Storch,
ich werde bei dieser Aufgabe gleich ausscheiden, da ich Geometrie garnicht kann. Würde mich freuen wenn auch Aufgaben auf dem Kreis oder Schulniveau gestellt werden können, denn ich habe darin überhaupt keine Kenntnisse. VIelen Dank, wenn jemand da eine gute kennt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:11 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi Leute
Ich wollte einfach mal meine ersten Gedanken zu dieser Aufgabe posten:
Und zwar habe ich versucht das Problem trigonometrisch anzugehen.
also es gilt nach Aufgabenstellung [mm] a^2=b^2+bc
[/mm]
Ergänzen wir dies durch den Kosinussatz:
[mm]a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha = b^2+bc \gdw c= b+2b\cos\alpha[/mm]
oder man nimmt den Kosinussatz mal auf diese Weiße:
[mm]b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta =a^2-bc \gdw bc+b = 2a\cos\beta[/mm]
Jetzt könnte man vieleicht c substituieren und nach b auflösen oder ...
Ich hab jetzt jedenfalls keine Zeit mich damit zu beschäftigen (Hausaufgaben!!! )
Gruß Samuel
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Das mit dem Cosinus-Satz ist doch gar keine schlechte Idee.
Man wendet auf die Winkelbeziehung auf beiden Seiten den Cosinus an, verwendet das Cosinus-Theorem für den doppelten Winkel (Variante mit 2cos²b-1). Indem man nun die Terme des Cosinus-Satzes einsetzt, erhält man eine Beziehung zwischen a,b,c. Das muß die gesuchte Beziehung sein. Nur enthält sie überflüssige Faktoren. Es ist jetzt also eine Frage der Algebra, diese zu finden und abzuspalten.
Das ist meiner Meinung nach überhaupt keine richtige Geometrie-Aufgabe, sondern eine Algebra-Aufgabe, die sich geometrisch verkleidet hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Di 21.09.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
Es gibt zwar wohl auch eine Lösung mit Hilfe der trigonometr. Funktionen.
Aber so schnell lasse ich euch nicht raus. Es gibt auch einen eindeutig geometrischen Lösungsweg.
Gruß Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Di 21.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Sigrid!
Ich finde es wirklich toll von dir (ich hoffe ich darf dich trotz des Altersunterschieds duzen, aber wir duzen uns ja alle hier ), dass du dich hier im Wettbewerbs-Forum (und auch sonst im Matheraum)beteiligst. Hast du als erfahrene Lehrerin eigentlich Erfahrung mit der Betreuung von Schülern vor und bei Mathe-Wettbewerben? Wenn ja, vielleicht kannst du den Jungs (sind ja leider keine Mädels dabei) ein paar Tipps geben?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Di 21.09.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Stefan,
ich habe nur Erfahrungen mit der Vorbereitung zu Mathewettbewerben bei jüngeren Schülern.
Ansonsten habe ich eine Reihe von Aufgaben, die meisten zum Glück mit Lösungen.
Gruß Sigrid
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:23 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Sigrid!
Ich versuche mal, eine rein geometrische Lösung (zumindest für eine Richtung) zu liefern.
Behauptung: Wenn [mm] \alpha [/mm] = 2 [mm] \beta, [/mm] dann [mm] a^{2} [/mm] = b(b + c)
Beweis:
Man zeichne die Winkelhalbierende vom Punkt A aus und nenne den Schnittpunkt dieser Winkelhalbierenden mit der Seite a "P". Nun definiere ich:
[mm] a_{1} [/mm] := |PB|
[mm] a_{2} [/mm] := |PC|
x := |AP|
Das Dreieck ABP ist gleichschenklig, da die Winkel bei A und B gleich sind. Daraus folgt:
(I) x = [mm] a_{1}
[/mm]
Das Dreieck APC hat die Innenwinkel [mm] \beta [/mm] bei A, 180° - [mm] 3\beta [/mm] bei C (da die Summe der Innenwinkel im Dreieck ABC natürlich 180° sein muss) und [mm] 2\beta [/mm] bei P (da die Summe der Innenwinkel im Dreieck APC 180° sein muss). Daher ist das Dreieck APC ähnlich zu dem Dreieck ABC und daraus folgt:
(II) [mm] \bruch{x}{a_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{a_{1}}{a_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{c}{b}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c = [mm] \bruch{b*a_{1}}{a_{2}}
[/mm]
(III) [mm] \bruch{x}{b} [/mm] = [mm] \bruch{a_{1}}{b} [/mm] = [mm] \bruch{c}{a}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c = [mm] \bruch{a*a_{1}}{b}
[/mm]
(II) [mm] \wedge [/mm] (III) [mm] \Rightarrow [/mm] (IV):
b = [mm] \wurzel{a*a_{2}}
[/mm]
c = [mm] a_{1}*\wurzel{\bruch{a}{a_{2}}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] b(b + c) = [mm] b^{2} [/mm] + bc = [mm] a*a_{2} [/mm] + [mm] a*a_{1} [/mm] = [mm] a^{2}
[/mm]
Zum "Rückweg":
Anstatt von [mm] a^{2} [/mm] = b(b + c) auszugehen und daraus die Beziehung zwischen den Winkeln zu folgern, kann man auch einfach [mm] \alpha \not= \beta [/mm] annehmen und dann (vielleicht ? / hoffentlich?) analog zum obigen Beweis zeigen, dass [mm] a^{2} \not= [/mm] b(b+c).
Gruß Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 So 26.09.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Clemens,
prima, ich denke, damit ist der erste Teil erledigt. Die Musterlösung geht übrigens ähnlich vor, nur wird der Winkel ß verdoppelt , indem die Gerade BC an der Geraden AB gespiegelt wird.
Deine Überlegungen zurm "Rückweg" habe ich noch nicht durchgeprüft, bin deshalb noch skeptisch.
Gruß Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Do 30.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Sigrid!
Könntest du bitte die Musterlösung zu dieser Aufgabe hier reinstellen? Denn sie geht sonst halb gelöst in den Tiefen der Threads verloren...
Danke! 
Liebe Grüße
Stefan
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Nachdem Sigrid sich nicht mehr meldet, poste ich hier mal meine Lösung.
Zur Veranschaulichung zeichne sich mal jeder ein Dreieck in 'Standardlage',
d.h. Seite c unten waagerecht, links die Ecke A, rechts die Ecke B.
Die 'Spitze' C soll so liegen, dass [mm] \alpha>\beta.
[/mm]
Wir Verdoppeln von AB aus den Winkel [mm] \beta [/mm] und bezeichnen den Schnitt des neuen Schenkels von [mm] 2\beta [/mm] mit der inneren Winkelhalbierenden von [mm] \alpha [/mm] als Punkt D, den [mm]Winkel(BDA)[/mm] nennen wir [mm] \delta [/mm] in Analogie zum Winkel [mm] \gamma [/mm] bei C; die Länge der Strecke CD heiße d.
z.zg.: [mm]\alpha=2\beta\ \Rightarrow\ a^2-b^2=bc[/mm]
[mm]\alpha=2\beta[/mm]
[mm]\Rightarrow\ Winkel(ABD)=Winkel(CAB)[/mm] und [mm]\overline{AC}=\overline{BD}=b[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] das Viereck ABDC ist ein symmetrisches Trapez
Die Höhe des Trapezes sei h.
[mm]\Rightarrow\ a^2=h^2+(\frac{c+d}{2})^2,\ b^2=h^2+(\frac{c-d}{2})^2[/mm]
[mm]\Rightarrow\ a^2-b^2=cd[/mm]
Es bleibt also zu zeigen dass auch b=d, aber das ist kein Problem, denn
[mm]AB\parallel CD\ \Rightarrow\ Winkel(ZDC)=Winkel(DCZ)=\beta[/mm]
[mm]\Delta ADC,\ \Delta BDC[/mm] sind gleichschenklig.
z.zg.: die umgekehrte Richtung
Betrachten wir dazu ein symmetrisches Trapez mit drei gleichen Seiten b, die vierte habe die Länge c. Beide Diagonalen sind gleichlang und ihre Länge sei a. Hier gilt [mm]a^2-b^2=bc[/mm]. Den [mm]Winkel(DBC)[/mm] nennen wir 'der Einfachheit halber' [mm] \beta.
[/mm]
Das Dreieck ADC ist gleichschenklig und somit [mm]Winkel(CDA)=Winkel(DAC)[/mm].
Wegen der Symmetrie folgt: [mm]Winkel(BCD)=Winkel(CDA)=Winkel(DAC)=\beta[/mm].
Da ja [mm]AB\parallel CD[/mm] sind auch [mm]Winkel(BAD)=Winkel(CBA)=\beta[/mm],
womit gezeigt ist, dass im Dreieck ABC
[mm]Winkel(BAC)=2\cdot Winkel(ABC)[/mm]
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Stefans Mitteilung hat mich darauf gebracht, dass die Beweisidee vielleicht zu wenig rauskommt.
Der Beweis stützt sich darauf, dass beim Erweitern des Dreiecks ABC zu einem Viereck sowohl die Angabe [mm] \alpha=2\beta [/mm] als auch die Angabe [mm] a^2=b(b+c) [/mm] auf das selbe symmetrische Trapez führen.
Die angegebenen Aussagen sind beide äquivalent zur Aussage
'Das entstehende Viereck ist ein symmetrisches Trapez'.
Aus der Transitivität von Äquivalenzen folgt das Gewünschte.
Ich hoffe, den Beweis kann jetzt jeder nachvollziehen, auch Leute mit noch geringeren Geometriekenntnissen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Do 07.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hugo!
Deine Beweisidee war mir klar, die hatte ich so verstanden. Aber die (Rück-)Richtung, wie man also aus der algebraischen Gleichung darauf kommt, dass das entstehende Viereck ein symmetrisches Trapez ist, war sicherlich aus deiner Sicht einfach und für die meisten hier nachvollziehbar aufgeschrieben, aber die Erklärung war für meine bescheidenen Fähigkeiten zu knapp, so dass ich mir erst einiges herleiten musste. (Das ist nicht (!) ironisch gemeint, es ist einfach so. )
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Fr 08.10.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Hugo,
Sorry, dass ich mich erst jetzt melde.
Gratuliere zur Lösung.Ich habe keinen Haken gefunden, wenn auch die Lösungsdarstellung nicht unbedingt "wettbewerbsreif" ist.
Trotzdem will ich doch noch die Lösungsidee der Musterlösung einbringen. Sie ist supereinfach.
Die Gleichung [mm] a^2=b^2+bc [/mm] wird umgestellt in
[mm]\bruch{a} {b+c}=\bruch{b}{a}[/mm]
d.h. man nimmt zwei ähnliche Dreiecke: das gegebene und eines mit den Seiten a und b+c (Der Winkel [mm]\gamma[/mm] ist gemeinsamer Winkel)). Der Rest ist dann einfach.
Ich kann noch Geometrieaufgaben aus bisherigen Mathe-Olympiaden liefern.
Gruß Sigrid
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Hallo Sigrid,
kannst du mal diese Lösung schicken, ich bin nämlich auf diese Weise nicht zum Ziel gekommen, obwohl ich mir mein Hirn ziemlich verknotet habe.
Hugo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Sa 09.10.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Hugo, hallo Stefan
tut mir leid, ich hätte die Konstruktion sorgfältiger angeben sollen.
Jetzt die Lösung für die "Rückrichtung". Der erste Teil wurde ja schon von Clemens ähnlich der Musterlösung gelöst.
Man zeichnet das Dreieck ABC und verlängert die Seite b über A hinaus um die Länge c. Man erhält so ein zweites Dreieck DBC.
Nach Voraussetzung gilt
[mm]\bruch{a}{b+c}=\bruch{b}{a}[/mm]
Der Winkel [mm]\gamma[/mm] gehört zu beiden Dreiecken.
Damit sind die Dreiecke ABC und BCD ähnlich.
daraus folgt Winkel CDB = Winkel ABC = [mm]\beta[/mm] und
Winkel DBC= Winkel BAC = [mm]\alpha[/mm]
Außerdem ist das Dreieck DBA gleichschenklig,
also ist der Winkel DBA = Winkel ADB = [mm]\beta[/mm]
also ist Winkel DBC = [mm]\alpha = 2 \beta[/mm]
Das wars.
Da auch ich wenig Übung in der Geometrie habe (in der Schule wird sie immer mehr verdrängt) würde ich hier noch gerne weiter machen. Ich finde es spannend, zu sehen, wie viele völlig verschiedene Lösungswege es gibt. Eine Möglichkeit wäre , die verschiedenen Geometrieaufgaben der Mathe-Olympiaden durchzugehen (z.B. ab Klasse 9 oder 10)
Gruß Sigrid
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