zusammengesetzte funktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 So 01.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hi,
ich hab hier n ezusammengesetzte Funktion gegeben
f(x) = 3* sin(x) - 4* cos(x)
man kann die ja durch ne sinuskurve annäher, also additionstheoreme anwenden koeffizientenvergleich man kommt dann für
a= 5 von a*sin(x+c)
nun wird ja aber wieder in die koeffizientengleichung eingestzte beu sin:
1 a*cos(c)=5
bei cos
2 a*sin(c)=5
jetzt hab ich gelesen, dass nur die werte die tatsächliche kurve annähern, dür ( in diesen Fall)die Gleichung 1 positiv und Gleichung 2 negativ wird , sprich nach den Vorzeichentabellen, bei trigonometrischen Funktionen der vierte Quadrant wo cos + und sin - ist und somit wiedergespiegelt wird, dass sin(c) zu cos(x) und cos(c) zu sin(x) gehört.
Meine Frage wäre jetzt warum dies gilt, weil ich nicht verstehe warum die kurve nicht anngenähert werden kann, wenn jetzt für x bei sin(x) nach dem ausrechnen von a* cos(c) = 5 für c ein negativer winkel rauskommt, sondern für c ein winkel rauskommen muss der das gleiche vorzeichen wie sin(x) hat (in diesem fall positiv)
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> Hi,
> ich hab hier n ezusammengesetzte Funktion gegeben
> f(x) = 3* sin(x) - 4* cos(x)
>
> man kann die ja durch ne sinuskurve annäher, also
> additionstheoreme anwenden koeffizientenvergleich man kommt
> dann für
> a= 5 von a*sin(x+c)
>
> nun wird ja aber wieder in die koeffizientengleichung
> eingestzte beu sin:
>
> 1 a*cos(c)=5
> bei cos
> 2 a*sin(c)=5
Wenn ich den Koeffizientenvergleich durchführe, komme ich auf
Bei Sinus:
(1) [mm]a*\cos(c) = 3[/mm]
Bei Cosinus:
(2) [mm]a*\sin(c) = -4[/mm]
Nun stellt man im Allgemeinen beide Gleichungen nach a um:
(1) [mm] \to[/mm] [mm]a = \bruch{3}{\cos(c)}[/mm] (1)'
(2) [mm] \to[/mm] [mm]a = \bruch{-4}{\sin(c)}[/mm] (2)'
Nun setzt man diese gleich:
(1)' = (2)'
[mm]\bruch{3}{\cos(c)} = \bruch{-4}{\sin(c)}[/mm]
Nun stellt man die Form [mm] \bruch{\sin(c)}{\cos(c)} [/mm] = ... her
[mm]\gdw \bruch{\sin(c)}{\cos(c)} = -\bruch{4}{3}[/mm]
Nun ist [mm] \bruch{\sin(c)}{\cos(c)} [/mm] = [mm] \tan(c), [/mm] man erhält
[mm]\gdw \tan(c) = -\bruch{4}{3}[/mm]
[mm]\gdw c = \tan^{-1}\left(-\bruch{4}{3}\right) = -\tan^{-1}\left(\bruch{4}{3}\right)[/mm]
Nun kannst du auch a berechnen, indem du das berechnete c in eine der obigen Gleichungen (1)' bzw. (2)' einsetzt.
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Daraus ergibt sich übrigens eine allgemeine Formel:
[mm] a*\sin(x) [/mm] + [mm] b*\cos(x) [/mm] lässt sich auch darstellen als [mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}}*\sin\left(x + \tan^{-1}\left(\bruch{b}{a}\right)\right)
[/mm]
> jetzt hab ich gelesen, dass nur die werte die tatsächliche
> kurve annähern, dür ( in diesen Fall)die Gleichung 1
> positiv und Gleichung 2 negativ wird , sprich nach den
> Vorzeichentabellen, bei trigonometrischen Funktionen der
> vierte Quadrant wo cos + und sin - ist und somit
> wiedergespiegelt wird, dass sin(c) zu cos(x) und cos(c) zu
> sin(x) gehört.
> Meine Frage wäre jetzt warum dies gilt, weil ich nicht
> verstehe warum die kurve nicht anngenähert werden kann,
> wenn jetzt für x bei sin(x) nach dem ausrechnen von a*
> cos(c) = 5 für c ein negativer winkel rauskommt, sondern
> für c ein winkel rauskommen muss der das gleiche vorzeichen
> wie sin(x) hat (in diesem fall positiv)
Dazu kann ich mich leider nicht äußern, da ich nicht verstehe was du möchtest. Wie ich oben geschrieben habe, kann eine Kurve der Form [mm] a*\sin(x) [/mm] + [mm] b*\cos(x) [/mm] _immer_ durch die Form [mm] a*\sin(x+v) [/mm] angenähert werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 02.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
also nochmal kurz
![[]](/images/popup.gif) Aufgabe als PDF bei mathe-aufgaben.de
hie rhab ich meine erklärung her ich verstehe S.7 das ende nicht.
Beziehungsweise ich verstehe was ich machen muss um den richtigen der 4 werte rauszufinden, aber ich verstehe nicht warum man dabei so vorgehen muss wie in der pdf so ist es vielleicht deutlicher
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mo 02.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Du solltest NICHT von einer Annäherung der Funktion sprechen: die Funktion f(x)=Asinx+Bcosx wird exakt wiedergegeben durch die Funktion f(x)=C*sin(x+d) wenn man [mm] C=\wurzel{A^2+B^2} [/mm] und c=arctanB/A setzt. Es ist keine Näherung!
2. Wenn du den Koeffizientenvergleich machst bekommst du 4 Werte, aber für die Werte die du für cos bekommst müssen auch die von sin richtig sein. Also prüf das einfach nach! Deine Vorlage macht das, indem sie die vorzeichen nachprüft, du kannst das aber auch direkt mit dem TR überprüfen.
3. Wenn du es anders machst als in deiner Vorlage, find ich es einfacher:
[mm] f=Asinx+Bcosx=\wurzel{A^2+B^2}*(\bruch{A}{\wurzel{A^2+B^2}}sinx+\bruch{B}{\wurzel{A^2+B^2}}cosx)
[/mm]
[mm] (\bruch{A}{\wurzel{A^2+B^2}}sinx+\bruch{B}{\wurzel{A^2+B^2}} [/mm] kann ich jetzt als cosy*sinx+siny*cosx auffassen weil cos^2y+sin^2y=1 jetz richtig ist.
dann ist
[mm] \bruch{A}{\wurzel{A^2+B^2}}=cosy [/mm]
[mm] \bruch{B}{\wurzel{A^2+B^2}}=siny
[/mm]
damit tany=B/A und wegen
cosy*sinx+siny*cosx=sin(x+y)
kann ich jetzt einsetzen.
[mm] Asinx+Bcosx=\wurzel{A^2+B^2}*(\bruch{A}{\wurzel{A^2+B^2}}sinx+\bruch{B}{\wurzel{A^2+B^2}}cosx)=\wurzel{A^2+B^2}*sin(x+y)mit [/mm] y=arctanB/A
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mo 02.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
ja das stimmt aber meine frage war jetzt ja eigentlich warum dass was in der vorlage steht gilt also warum muss cos(c)*a=Koeffizient
beispielsweise für ein positiven sin in der funktion also
f(x) = 3*sin(x)-5*(cos(x)
positive Werte annehmen und ( also nur positive ergebnisse sidn richtig) und
sin(c)*a=Koeffizient , negative Werte (nur negative ergebnisse sind richtig) . Nach betrachtung der vorzeichentabelle ist dies nur im 4Quadranten möglich, also stimtm nru der vierte Wert..weshlab gilt diese Regel??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Di 03.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du gehst doch von der Formel a*sin(x+u)=acosu*sinx+asinu*cosx aus.
dabei ist u natürlich derselbe Winkel!
Dann hast du raus:acosu=3 oder cosu=0,6
und :asinu=-4 oder sinu=-0,8
BEACHTE: SIN HAT NEG. WERT, COS HAT POS. WERT
zum ersten Wert also cosu=0,6 gibts 2 Lösg: u=53° und u=323° (=-53°)
zum zweiten, also inu=-0,8 gibts 2 Lösg: u=233° und u=323° (=-53°)
die 53° sind nicht möglich, denn es ist zwar cos53=0,6 aber sin53=+0,8 nicht wie gesucht -0,8.
ebenso ist die 233 nicht möglich, denn da ist zwar sin233=-0,8 aber cos233 ist -0,6 und nicht +0,6 wie verlangt.
in dem skript sagen sie das jetzt etwas anders:
liegt der Winkel im 1. Qu. ist sin pos und cos auch. bei dir ist aber sin negativ, also kann der Winkel nicht im 1. Qu liegen.
im 2. Qu. ist sin pos. cos neg, geht also für dich auch nicht
im 3. Qu ist sin und cos neg. geht für dich auch nicht!
also bleibt der vierte: sin ist negativ, cos pos. wie da hier der Fall ist.
Hättest du stattdessen f(x)=3*sinx+4*cosx wäre a dasselbe, aber sinu=+0,8, cosu=+0,6 und beide positiv wär nur für nen Winkel im ersten Qu.
Ich find die Methode direkt tanu=B/A auszurechnen einfacher!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Di 03.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
wo liegt den das problem in der formulierugn ich versuchs gern nochmal anders..
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