zusammenhängend < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Es geht um ein Verständnisproblem.
Im Skript heißt es:
Eine Menge [mm] X\in \IR^{n} [/mm] heißt einfach zusammenhängend, wenn jede geschlossene Kurve [mm] \gamma\in C^{0}([a,b],X) [/mm] in X geschlossen homotop zu einer konstanten Kurve ist.
Eine Menge [mm] G\in \IR^{n} [/mm] heißt wegweise zusammenhängend, falls für alle [mm] x_{0}, x_{1}\in [/mm] G ein Weg von [mm] x_{0} [/mm] nach [mm] x_{1} [/mm] existiert.
Mein Problem ist folgendes:
Ich verstehe nicht so ganz den Unterschied der beiden Definitionen, so vom Sinn her.
Bei beiden habe ich mir beim Lesen gedacht, dass es vor allem darauf ankommt, dass die Menge keine "Lücken" hat.
Aber das würde den Unterschied ja nicht erklären!
Kann mir hier bitte jemand helfen?
Grüßle, Lily
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Mo 20.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
> Es geht um ein Verständnisproblem.
> Im Skript heißt es:
>
> Eine Menge [mm]X\in \IR^{n}[/mm] heißt einfach zusammenhängend,
> wenn jede geschlossene Kurve [mm]\gamma\in C^{0}([a,b],X)[/mm] in X
> geschlossen homotop zu einer konstanten Kurve ist.
>
> Eine Menge [mm]G\in \IR^{n}[/mm] heißt wegweise zusammenhängend,
> falls für alle [mm]x_{0}, x_{1}\in[/mm] G ein Weg von [mm]x_{0}[/mm] nach
> [mm]x_{1}[/mm] existiert.
>
> Mein Problem ist folgendes:
> Ich verstehe nicht so ganz den Unterschied der beiden
> Definitionen, so vom Sinn her.
> Bei beiden habe ich mir beim Lesen gedacht, dass es vor
> allem darauf ankommt, dass die Menge keine "Lücken" hat.
> Aber das würde den Unterschied ja nicht erklären!
Doch, im wesentlichem schon. Eine einfach zusammenhängende Menge hat keine "Löcher "
[mm] \IR^2 [/mm] ist einfach zsh, [mm] \IR^2 [/mm] \ { (0,0) } nicht. [mm] \IR^2 [/mm] \ { (0,0) } ist wegzusammenhängend.
FRED
>
> Kann mir hier bitte jemand helfen?
> Grüßle, Lily
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Mo 20.08.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Fred,
> > Hallo!
> > Es geht um ein Verständnisproblem.
> > Im Skript heißt es:
> >
> > Eine Menge [mm]X\in \IR^{n}[/mm] heißt einfach zusammenhängend,
> > wenn jede geschlossene Kurve [mm]\gamma\in C^{0}([a,b],X)[/mm] in X
> > geschlossen homotop zu einer konstanten Kurve ist.
> >
> > Eine Menge [mm]G\in \IR^{n}[/mm] heißt wegweise zusammenhängend,
> > falls für alle [mm]x_{0}, x_{1}\in[/mm] G ein Weg von [mm]x_{0}[/mm] nach
> > [mm]x_{1}[/mm] existiert.
> >
> > Mein Problem ist folgendes:
> > Ich verstehe nicht so ganz den Unterschied der beiden
> > Definitionen, so vom Sinn her.
> > Bei beiden habe ich mir beim Lesen gedacht, dass es vor
> > allem darauf ankommt, dass die Menge keine "Lücken" hat.
> > Aber das würde den Unterschied ja nicht erklären!
>
> Doch, im wesentlichem schon. Eine einfach
> zusammenhängende Menge hat keine "Löcher "
Finde ich etwas unpräzise.
$ [mm] \IR^3 [/mm] $ \ { (0,0,0) } hat z.B. ein "Loch", dürfte aber einfach zshg. sein.
Irre ich mich?
>
> [mm]\IR^2[/mm] ist einfach zsh, [mm]\IR^2[/mm] \ { (0,0) } nicht. [mm]\IR^2[/mm] \ {
> (0,0) } ist wegzusammenhängend.
>
> FRED
> >
> > Kann mir hier bitte jemand helfen?
> > Grüßle, Lily
>
|
|
|
| |
|
Hallo,
Fred scheint ja heute Marathon zu laufen. Zumindest hier im matheraum. Dennoch drücke ich auf die Tube und gebe meinen Senf dazu.
Ich formuliere das mal bildlich!
Nehmen wir Freds Beispiel mit [mm] \IR^2 [/mm] \ {(0,0)}:
Ziehe einen Kreis um den Nullpunkt mit beliebigen Radius. Jetzt heißt einfach zusammenhängend, dass du einen Punkt auf dem Kreis (also der Kurve) aufgreifen kannst und dann die Kurve stetig (!) zusammenziehen kannst. Also so zusammenziehen, dass der Radius immer kleiner wird und am Ende alles auf dem Punkt zusammenfällt.
Irgendwann kommt aber die Stelle (0,0) - da kann man es nicht mehr zusammenziehen, weil der Punkt ja gar nicht existiert, das ist diese "Lücke". Also kann man es nicht stetig zusammenziehen. Obiges Beispiel ist eben nicht nullhomotop, also nicht einfach zusammenhängend.
Dass man aber zwei Punkte sich herausgreifen kann und diese verbinden kann, ist denke ich anschaulich klar.
Damals mein Prof: "Stellen Sie sich vor, sie haben einen Gummi und den ziehen Sie einfach hin und her. Aber er darf eben nicht reißen."
Anderes Bsp.: [mm] \IR^3 [/mm] \ {(0,0,0)}
Das ist einfach zusammenhängend, weil man ja, um diesen Nullpunkt "herum" die Kurven zusammenziehen kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Mo 20.08.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
achso! Danke  Jetzt kann ich mir das besser vorstellen!
|
|
|
|
