zusammenhängende Kurven < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (i) Sei $U [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] offen, $p,q [mm] \in [/mm] U$ und [mm] $\alpha:[0,1] \to [/mm] U$ eine stetige Kurve von $p$ nach $q$. Zeigen Sie, dass [mm] $\alpha$ [/mm] zu einem Polygonzug in $U$ von $p$ nach $q$ homotop ist.
(ii) Sei [mm] $\alpha \in \IR^n \backslash [/mm] 0$. Zeigen Sie, dass [mm] $\IR^n \backslash \IR_{\geq0} \alpha$ [/mm] einfach zusammenhängend ist.
(iii) Sei [mm] $\gamma:[0,1] \to \IR^n \backslash [/mm] 0$ ein geschlossener Polygonzug, $n [mm] \geq [/mm] 3$. Zeigen Sie: Es gibt einen Halbstrahl [mm] $\IR_{\geq 0} \alpha, \alpha \in \IR^n \backslash [/mm] 0$, mit [mm] $\gamma([0,1])\cap \IR_{\geq 0} \alpha [/mm] = [mm] \emptyset$
[/mm]
(iv) Zeigen Sie, dass [mm] $\IR^n \backslash [/mm] 0$ für $n [mm] \geq [/mm] 3$ einfach zusammenhängend ist. |
Hallo :)
Zu i) Wir haben also laut Definition einen Weg mit [mm] $\alpha(0) [/mm] = p$ und [mm] $\alpha(1)=q$. [/mm]
Achso, da [mm] $\alpha$ [/mm] stetig ist [mm] $\alpha([0,1])$ [/mm] kompakt, damit abgeschlossen und beschränkt. Eine stetige Funktion auf einem kompakten metrischen Raum ist gleichmäßig stetig. Aber was mache ich jetzt? Kann ich durch gleichmäßig stetige Funktionen nicht einen achsensymetrischen Polygonzug finden mit den Seiten [mm] $\epsilon$ [/mm] und [mm] $\delta$? [/mm] Kann mir jmd folgen? :D
Ich wäre über ein wenig Hilfe sehr dankbar.
Liebe Grüße,
Ana-Lena
Unsere Definition von U ist wegzusammenhängend, wenn $U [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] und [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] U [mm] \exists$ [/mm] stetige Abb. [mm] $\gamma:[a,b] \to [/mm] U$ ($a<b$, reell) mit [mm] $\gamma(a) [/mm] =x, [mm] \gamma(b) [/mm] =y$ Weg von $x$ nach $y$.
Dann unsere Definition von homotop: Sei $U [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] ein Gebiet. Zwei stetige Kurven [mm] $\alpha_0, \alpha_1 [/mm] : [mm] [t_0,t_1] \to [/mm] U$ mit [mm] $\alpha_0(t_0) [/mm] = [mm] \alpha_1(t_0) [/mm] =: [mm] p_0$ [/mm] und [mm] $\alpha_0(t_1) [/mm] = [mm] \alpha_1(t_1) [/mm] =: [mm] p_1$ [/mm] heißen homotop in U
[mm] $\Leftrightarrow \exists$ [/mm] stetige Abb. $H : [0,1] [mm] \times [t_0,t_1] \to [/mm] U$ mit
(A) $H(0,t) = [mm] \alpha_0(t), [/mm] H(1,t) = [mm] \alpha_1(t) \forall t\in[t_0,t_1]$
[/mm]
(B) [mm] $H(s,t_0) [/mm] = [mm] p_0, H(s,t_1) [/mm] = [mm] p_1 \forall s\in[t_0,t_1]$
[/mm]
$H$ heißt dann eine Homotopie zwischen [mm] $\alpha_0$ [/mm] und [mm] $\alpha_1$. [/mm]
Wobei_ [mm] $\alpha_s(t):=H(s,t)$ [/mm] stetige Deformation
Also [mm] $\alpha_s: [t_0,t_1] \to [/mm] U$ stetig.
Und ein Polygonzug verbindet halt mehrere Punkte. Wie kann ich mir homotop vorstellen? Was ist eine stetige Deformation? Also was kann ich mir unter dem [mm] $H(s,t_0)$ [/mm] vorstellen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Do 14.06.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
zu ii) Was ist denn mit [mm] $\IR^n \backslash \IR_{\geq0} \alpha$ [/mm] gemeint?
Schneide ich da eine "positive Gerade" aus [mm] $\IR^n$ [/mm] und schneide damit auch immer die $0$ raus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Fr 15.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> zu ii) Was ist denn mit [mm]\IR^n \backslash \IR_{\geq0} \alpha[/mm]
> gemeint?
>
> Schneide ich da eine "positive Gerade" aus [mm]\IR^n[/mm] und
> schneide damit auch immer die [mm]0[/mm] raus?
Ja, immer die 0.
[mm] \IR_{\geq0} \alpha = \{ x\in \IR^n \mid x = \lambda \alpha, \lambda \in \IR, \lambda \ge 0\} [/mm] .
Es ist also die Halbgerade, die im Ursprung beginnt und durch den Punkt [mm] $\alpha$ [/mm] geht.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Zu iii) und iv)
Folgende Definitionen haben wir:
Eine geschlossene stetige Kurve [mm] $\alpha [/mm] : [mm] [t_0, t_1] \to [/mm] U$ [mm] ($\alpha(t_0) [/mm] = [mm] \alpha(t_1) [/mm] = [mm] p_0$) [/mm] heißt nullhomotop in $U$
$: [mm] \Leftrightarrow \alpha$ [/mm] ist homotop in $U$ zur konstanten Kurve [mm] $\beta [/mm] : [mm] [t_0, t_1] \to [/mm] U, t [mm] \mapsto p_0$ [/mm] man sagt auch: [mm] $\alpha$ [/mm] ist stetig in $U$ zusammenziehbar auf den Pkt. [mm] $p_0$.
[/mm]
$U$ heißt einfachzusammenhängend $: [mm] \Leftrightarrow \exists p_0 \in [/mm] U$ sodass jede geschlossene stetige Kurve mit Anfangs- und Endpunkt [mm] $p_0$ [/mm] ein nullhomotop in $U$ ist.
Und welche konstante Kurve eignet sich jetzt? Wie kann ich mir denn die Definitionen bildlich vorstellen?
Liebe Grüße,
Ana-Lena
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 16.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 16.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
