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zusammensetzung von e^x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 So 12.02.2012
Autor: EvelynSnowley2311

huhu,

kleine Frage:

ist die Gleichung richtig:
[mm] e^x [/mm] = cos(x) + sin(x)

nach den Reihen setzt sich die exponentialfunktion als Reihe ja aus cosinus und sinus zusammen, doch wenn ich mitn taschenrechner werte eingebe kann diese gleichung ja nicht hinkommen^^

        
Bezug
zusammensetzung von e^x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 So 12.02.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> kleine Frage:
>  
> ist die Gleichung richtig:
>  [mm]e^x[/mm] = cos(x) + sin(x)
>  
> nach den Reihen setzt sich die exponentialfunktion als
> Reihe ja aus cosinus und sinus zusammen, doch wenn ich mitn
> taschenrechner werte eingebe kann diese gleichung ja nicht
> hinkommen^^

Kein Wunder: du hast dich mit den Vorzeichen vertan. Damit die e-Funktiopn und die trigonometrischen Funktionen zusammenpassen, braucht es die komplexen Zahlen:

[mm] e^{i*x}=cos(x)+i*sin(x) [/mm]

Man muss also den Sinusanteil noch um 90° in der komplexen Ebene drehen, damit die beiden Potenzreihen in der Summe die Potenzreihe der komplexen Exponentialfunktion ergeben.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
zusammensetzung von e^x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 So 12.02.2012
Autor: EvelynSnowley2311

ahh ok^^
aber mit den Reihendarstellung gehts aber auch im reellen Bereich oder?
da trennt man ja die e- Reihe in  geraden und ungeraden Summenteil auf.


Bezug
                        
Bezug
zusammensetzung von e^x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 So 12.02.2012
Autor: Diophant

Hallo,

>  aber mit den Reihendarstellung gehts aber auch im reellen
> Bereich oder?
> da trennt man ja die e- Reihe in  geraden und ungeraden
> Summenteil auf.

[mm] e^x=1+x+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+... [/mm]

[mm] sin(x)=x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}+... [/mm]

[mm] cos(x)=1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-\bruch{x^6}{6!}+... [/mm]

Und wie willst du die Sache mit den alternierenden Vorzeichen hinbiegen? ;-)

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
zusammensetzung von e^x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:05 So 12.02.2012
Autor: EvelynSnowley2311

^^

ja, in meinem schlauen Buch haben die einfach dann alternierende Vorzeichen vorgemacht [mm] (-1)^n [/mm] , das würde man so direkt nicht herleiten können^^

Bezug
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