zweimal stetig differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Fr 23.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Bestimmen sie alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR, [/mm] für welche f'(t)=f(t) gilt.
Hinweis: Betrachten sie g(t):=e^-t f(t) und differenzieren sie. |
Hallo,
ich habe einmal [mm] f(t)=e^t [/mm] denn die Ableitung stimmt mit der Funktion überein und [mm] e^t [/mm] ist stetig
Und dann betrachte ich noch den Hinweis:
g(t):=e^-t [mm] f(t)=e^{-t}*e^t
[/mm]
denn [mm] f'(t)=-e^{-t}*e^t+e^{-t}*e^t=e^t(-e^{-t}*e^t)
[/mm]
und ab hier komme ich nicht weiter :S
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Fr 23.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie alle zweimal stetig differenzierbaren
> Funktionen f: [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR,[/mm] für welche f'(t)=f(t) gilt.
>
> Hinweis: Betrachten sie g(t):=e^-t f(t) und differenzieren
> sie.
> Hallo,
>
>
> ich habe einmal [mm]f(t)=e^t[/mm] denn die Ableitung stimmt mit der
> Funktion überein und [mm]e^t[/mm] ist stetig
Damit weißt Du schon mal, dass [mm] e^t [/mm] die gewünschte Eigenschaft hat.
>
> Und dann betrachte ich noch den Hinweis:
>
> g(t):=e^-t [mm]f(t)=e^{-t}*e^t[/mm]
Was machst Du da ? Du sollst folgendermaßen vorgehen: sei f eine Funktion mit f'(t)=f(t) für alle t (einmal differenzierbar ist völlig ausreichend !). Jetzt sollst Du herauskitzeln, wie dann f notwendigerweise aussehen muß. Dazu der Hinweis: betrachte
$g(t):= [mm] \bruch{f(t)}{e^t}$
[/mm]
Jetzt Du:
1. Was ist g' ?
2. Was kannst Du aus 1. folgern ?
3. Wie sieht f aus ?
FRED
>
> denn [mm]f'(t)=-e^{-t}*e^t+e^{-t}*e^t=e^t(-e^{-t}*e^t)[/mm]
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> und ab hier komme ich nicht weiter :S
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> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Fr 23.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo.
für g'(t) habe ich [mm] g'(t)=\bruch{f'(t)-f(t)}{e^t}
[/mm]
Aus 1 weiss ich das [mm] e^t [/mm] differenzierbar und stetig ist. Kann ich jetzt hier für [mm] f(t)=e^t [/mm] schreiben (weil wir das bei der 1 hatten)? Dann haette ich aber g'(t)=0 und dann waere g'(t) nicht identisch mıt g(t).
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Fr 23.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
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> für g'(t) habe ich [mm]g'(t)=\bruch{f'(t)-f(t)}{e^t}[/mm]
Ja, und weil f'=f ist , ist g'(t) = 0 für jedes t
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> Aus 1 weiss ich das [mm]e^t[/mm] differenzierbar und stetig ist.
> Kann ich jetzt hier für [mm]f(t)=e^t[/mm] schreiben (weil wir das
> bei der 1 hatten)?
Was soll das ? Ich hab Dir doch oben erklärt worum es geht !
> Dann haette ich aber g'(t)=0 und dann
> waere g'(t) nicht identisch mıt g(t).
Wer verlangt das ? Niemand.
Wir haben: g'(t) = für jedes t [mm] \in \IR. [/mm] Somit ist g auf [mm] \IR [/mm] konstant. Es gibt also ein c [mm] \in \IR [/mm] mit:
$g(t)=c$ für jedes t.
Das zieht nach sich: $f(t) = [mm] ce^t$ [/mm] für jedes t [mm] \in \IR
[/mm]
FERTIG
FRED
>
>
> Lg Melisa
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