zweite Ergänzungssatz,gauss < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 19.09.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zweite Ergänzungssatz:
Sei p [mm] \not= [/mm] 2 Primzahl. Dann ist [mm] (\frac{2}{p}) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{8}} [/mm] |
Der Beweis im Skript:
Nach GAUSSschen Lemma muss man bestimmen wieviele Elemente der Menge [mm] \{2*1,2*2,..,2*\frac{p-1}{2}\} [/mm] größer als [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] sind, dh m [mm] \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\} [/mm] derart dass 2m <= [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] < 2(m+1), so is [mm] \gamma_p [/mm] (2) = [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] - m
Dann wurden die Fälle p=8k+1, p =8k+7 , p=8k+3, p = 8k+5 betrachtet und mittels m das Legendresymbole [mm] (\frac{2}{p}) [/mm] angeschaut.
Nun verstehe ich aber nicht was das m sein soll.
[mm] \frac{p-1}{2} [/mm] sind alle [mm] r_i [/mm] und m sind die, die nicht im negativen landen. ABer wie kommt man auf die Ungleichung 2m <= [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] < 2(m+1) ? Das verstehe ich gar nicht.
Hilfe würde mich freuen,
liebe Grüße
GAUSSsches Lemma:
Sei p $ [mm] \not= [/mm] $ Pimzahl und a $ [mm] \in \IZ, [/mm] $ mit p teilt a nicht
Für ja $ [mm] \in \{a,2a,.., (p-1)/2 a\} [/mm] $ (d.h. 1 <= j <= $ [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] $ ) sei $ [mm] r_j \in \IZ [/mm] $ durch ja $ [mm] \equiv r_j [/mm] $ (p) und $ [mm] -\frac{p-1}{2} [/mm] $ <= $ [mm] r_j [/mm] $ <= $ [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] $ eindeutig festgelegt. Nun bezeichne $ [mm] \gamma_p [/mm] $ (a) die Anzahl der j $ [mm] \in \{1,2,.,\frac{p-1}{2} \} [/mm] $ für die $ [mm] r_j [/mm] $ <0 gilt. Dann ist
$ [mm] (\frac{a}{p}) [/mm] $ = $ [mm] (-1)^{\gamma_p(a)} [/mm] $
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Do 20.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Zweite Ergänzungssatz:
> Sei p [mm]\not=[/mm] 2 Primzahl. Dann ist [mm](\frac{2}{p}) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{8}}[/mm]
>
> Der Beweis im Skript:
> Nach GAUSSschen Lemma muss man bestimmen wieviele Elemente
> der Menge [mm]\{2*1,2*2,..,2*\frac{p-1}{2}\}[/mm] größer als
> [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] sind, dh m [mm]\in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\}[/mm]
> derart dass 2m <= [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] < 2(m+1), so is [mm]\gamma_p[/mm]
> (2) = [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] - m
> Dann wurden die Fälle p=8k+1, p =8k+7 , p=8k+3, p = 8k+5
> betrachtet und mittels m das Legendresymbole [mm](\frac{2}{p})[/mm]
> angeschaut.
>
> Nun verstehe ich aber nicht was das m sein soll.
$m$ steht fuer die groesste Zahl [mm] $\in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\}$ [/mm] so, dass [mm] $2m\leq \frac{p-1}{2}$ [/mm] gilt.
> [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] sind alle [mm]r_i[/mm] und m sind die, die nicht im
> negativen landen. ABer wie kommt man auf die Ungleichung 2m
> <= [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] < 2(m+1) ? Das verstehe ich gar nicht.
S.o.
>
> Hilfe würde mich freuen,
> liebe Grüße
>
> GAUSSsches Lemma:
> Sei p [mm]\not=[/mm] Pimzahl und a [mm]\in \IZ,[/mm] mit p teilt a nicht
> Für ja [mm]\in \{a,2a,.., (p-1)/2 a\}[/mm] (d.h. 1 <= j <=
> [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] ) sei [mm]r_j \in \IZ[/mm] durch ja [mm]\equiv r_j[/mm] (p) und
> [mm]-\frac{p-1}{2}[/mm] <= [mm]r_j[/mm] <= [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] eindeutig
> festgelegt. Nun bezeichne [mm]\gamma_p[/mm] (a) die Anzahl der j [mm]\in \{1,2,.,\frac{p-1}{2} \}[/mm]
> für die [mm]r_j[/mm] <0 gilt. Dann ist
> [mm](\frac{a}{p})[/mm] = [mm](-1)^{\gamma_p(a)}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Di 25.09.2012 | | Autor: | sissile |
> $ m $ steht fuer die groesste Zahl $ [mm] \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\} [/mm] $ so, dass $ [mm] 2m\leq \frac{p-1}{2} [/mm] $ gilt.
Hallo,
Trotzdem verstehe ich nicht, woher diese Ungleichung kommt.
Kanst du mir das vlt. noch erklären?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Di 25.09.2012 | | Autor: | hippias |
> > [mm]m[/mm] steht fuer die groesste Zahl [mm]\in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\}[/mm]
> so, dass [mm]2m\leq \frac{p-1}{2}[/mm] gilt.
>
> Hallo,
> Trotzdem verstehe ich nicht, woher diese Ungleichung
> kommt.
> Kanst du mir das vlt. noch erklären?
>
> Liebe Grüße
Und ich verstehe Dich nicht  Du hast doch geschrieben
Der Beweis im Skript:
Nach GAUSSschen Lemma muss man bestimmen wieviele Elemente der Menge $ [mm] \{2\cdot{}1,2\cdot{}2,..,2\cdot{}\frac{p-1}{2}\} [/mm] $ größer als $ [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] $ sind, dh m $ [mm] \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\} [/mm] $ derart dass 2m <= $ [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] $
Daher kommt die Ungleichung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Di 25.09.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ja, trotzdem ist mir der Satz nicht klar. ..
> Nach GAUSSschen Lemma muss man bestimmen wieviele Elemente der Menge $ [mm] \{2\cdot{}1,2\cdot{}2,..,2\cdot{}\frac{p-1}{2}\} [/mm] $ größer als $ [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] $ sind, dh m $ [mm] \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\} [/mm] $ derart dass 2m <= $ [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] $
Wieso sind die Elemente der Menge $ [mm] \{2\cdot{}1,2\cdot{}2,..,2\cdot{}\frac{p-1}{2}\} [/mm] $ die größer als $ [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] $ sind - gerade die negativen [mm] r_j [/mm] ?
Bei mir löst der Satz leider totale Verwirrung aus.. ;)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Mi 26.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
>
> Ja, trotzdem ist mir der Satz nicht klar. ..
>
> > Nach GAUSSschen Lemma muss man bestimmen wieviele Elemente
> der Menge [mm]\{2\cdot{}1,2\cdot{}2,..,2\cdot{}\frac{p-1}{2}\}[/mm]
> größer als [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] sind, dh m [mm]\in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\}[/mm]
> derart dass 2m <= [mm]\frac{p-1}{2}[/mm]
>
> Wieso sind die Elemente der Menge
> [mm]\{2\cdot{}1,2\cdot{}2,..,2\cdot{}\frac{p-1}{2}\}[/mm] die
> größer als [mm]\frac{p-1}{2}[/mm] sind - gerade die negativen [mm]r_j[/mm]
> ?
> Bei mir löst der Satz leider totale Verwirrung aus.. ;)
>
> Liebe Grüße
>
Es geht um die Darstellung einer Zahl $n$ als $n= q'p+r'$, wobei [mm] $-\frac{p-1}{2}\leq r'\leq \frac{p-1}{2}$. [/mm] Diese basiert auf der Darstellung $n= qp+r$, [mm] $0\leq [/mm] r< p$ (Divison mit Rest). Gilt [mm] $r\leq \frac{p-1}{2}$, [/mm] so waehle $q':= q$ und $r':= r$. Gilt $r> [mm] \frac{p-1}{2}$, [/mm] so waehle $r':= r-p$ und $q':= q+1$. Offensichtlich ist dann $n= q'p+r'$ und $0>r'= r-p> [mm] \frac{p-1}{2}-p= -\frac{p+1}{2}$, [/mm] also [mm] $r'\geq -\frac{p+1}{2}+1= -\frac{p-1}{2}$.
[/mm]
In diesem Sinne erhaelst die negativen [mm] $r_{i}$ [/mm] genau fuer die [mm] $i\in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\}$, [/mm] fuer die der Rest bei der - herkoemmlichen - Division von $2i$ mit $p$ groesser als [mm] $\frac{p-1}{2}$ [/mm] ist. Dabei ist zu beachten, dass nach Wahl von [mm] $i\leq \frac{p-1}{2}$ [/mm] schon [mm] $2i\leq [/mm] p-1$ ist, also $2i$ selber der Rest der Division mit $p$ ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Do 27.09.2012 | | Autor: | sissile |
Großes Danke an dich!!!
Liebe Grüße
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